点分治学习笔记

点分治学习笔记

前言

今天（19.7.11）B组比赛T2是点分治的题。震惊之余赶紧学一学。

正文

用途

点分治主要用来解决统计树上路径的问题。常见的有：

1. 路径和等于或小于等于k的点对（路径条数）。
2. 路径和为某个数的倍数。
3. 路径和为k且路径的边数最少。
4. 路径和mod M后为某个值。
5. 路径上经过不允许点的个数不超过某个值，且路径和最大。

时间复杂度通常为O((nlogn))或O((nlog^2n))，视solve函数的具体打法而定

前置知识

树的重心

定义

一颗无根树中最大子树大小最小的节点。

性质

设整棵树的大小为size,最大子树的大小不超过size/2

证明：反证法

算法流程

1. 计算经过当前关键点（就是当前子树的重心）的路径，把路径两两匹配统计答案
2. 枚举重心的每一个儿子
3. 将答案减去经过只同一个儿子的路径（去重）
4. 找儿子子树的重心
5. 递归分治儿子

为什么3.要去重呢？

以下内容来自[点分治详细解析][https://blog.csdn.net/qq_39553725/article/details/77542223]

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当我们以A为关键点计算答案时，我们会统计如下几条路径

A—>A
A—>B
A—>B—>C
A—>B—>D
A—>E
A—>E—>F (按照先序遍历顺序罗列)

那么我们在合并答案是会将上述6条路径两两进行合并。
这是注意到：
合并A—>B—>C 和 A—>B—>D 肯定是不合法的！！
因为这并不是一条树上(简单)路径，出现了重边，我们要想办法把这种情况处理掉。
处理方法很简单，减去每个子树的单独贡献。
例如对于以B为根的子树，就会减去：
B—>B
B—>C
B—>D

这三条路径组合的贡献

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例题

树中点对距离

给出一棵带边权的树，问有多少对点的距离<=Len

裸题嘛

把板子套一下就好了

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,len,i,j,mi,root,Size,ans;
int x,y,z;
int l[20005][2],next[20005],last[10005],tot;
int size[20005];
int dis[20005];
int bz[10005];

void insert(int x,int y,int z)
{
	tot++;
	l[tot][0]=y;l[tot][1]=z;
	next[tot]=last[x];
	last[x]=tot;
}

void getroot(int x,int fa)
{
	int mason=0;
	size[x]=1;
	for (int i=last[x];i>=1;i=next[i])
	{
		if ((l[i][0]!=fa)&&(bz[l[i][0]]==0))//记得判断l[i][0]是否曾经分治过 
		{
			getroot(l[i][0],x);
			size[x]+=size[l[i][0]];
			mason=max(mason,size[l[i][0]]);
		}
	}
	mason=max(mason,Size-size[x]);
	if (mi>mason)
	{
		mi=mason;
		root=x;
	}
}

void getdis(int x,int fa,int len)
{
	dis[++dis[0]]=len;
	for (int i=last[x];i>=1;i=next[i])
	{
		if ((l[i][0]!=fa)&&(bz[l[i][0]]==0))
		{
			getdis(l[i][0],x,len+l[i][1]);
		}
	}
}

int solve(int x,int d)
{
	dis[0]=0;
	getdis(x,0,d);
	sort(dis+1,dis+1+dis[0]);
	int bz=0,s=0;
	for (int i=dis[0];i>=1;i--)
	{
		while ((bz<=i)&&(dis[bz+1]+dis[i]<=len))
		bz++;
		while (bz>=i)
		bz--;
		s=s+bz;
	}
	return s;
}

void Divide(int x,int SSize)
{
	bz[x]=1;//记得标记 
	ans+=solve(x,0);
	for (int i=last[x];i>=1;i=next[i])
	{
		int y=l[i][0];
		if (bz[y]) continue;//记得判断是否分治过 
		ans-=solve(y,l[i][1]);
		if (size[y]<size[x]) Size=size[y];
		else Size=SSize-size[x];//重点，计算以y为根子树的大小 
		mi=1000000;//记得赋初值 
		getroot(y,x);
		Divide(root,Size);
	}
}

int main()
{
	freopen("read.in","r",stdin);
	scanf("%d%d",&n,&len);
	for (i=1;i<=n-1;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		insert(x,y,z);
		insert(y,x,z);
	}
	memset(bz,0,sizeof(bz));
	mi=1000000;Size=n;
	getroot(1,0);
	Divide(root,n);
	printf("%d",ans);
}