线性规划对偶问题学习笔记

目录

• 线性规划对偶问题学习笔记
  • 线性规划
  • 对偶问题
  • 对偶问题推论
  • 单纯形算法
    • 例题
      • NOI2008 志愿者招募
      • ZJOI2013 防守战线
  • KM算法

线性规划对偶问题学习笔记

今天做FJ省队集训感觉需要用KM，然后来学

由于我数学太弱，可能会用比较通俗的语言解释，数学符号混乱注意。

线性规划

线性规划通常可以用矩阵的形式表示为:

定义 (m imes n) 的矩阵 (A) 和向量 (mathbf{b}=left[b_{1}, cdots, b_{m} ight]^{T}, mathbf{c}=left[c_{1}, cdots, c_{n} ight])，求(mathbf{x}=[x_1,cdots,x_n]^T)，满足以下条件

这里B、X就当它是一个竖着的数组，只是为了方便用数学语言表示之后的乘

[operatorname{maximize} quad mathbf{c x}\ operatorname{s.t.} quad A mathbf{x} leq mathbf{b}, mathbf{x} geq 0 ]

这是什么意思呢？首先cx就是(sum_{i} x_ic_i)，即物品总价值

然后有若干个约束，AX<=b 就是我们开对每一行(A_i)，有(sum_j A_{i,j}x_jleq b_i)

表示每单位每个物品 (j) 需耗费(A_{i,j})单位材料 (i)，(b_i)为材料总单位数

对偶问题

每个线性规划问题，称为原问题，都可以变换为一个对偶问题。上述问题的对偶问题为:

[operatorname{minimize} quad mathbf{b}^{T} mathbf{y}\ operatorname{s.t.} quad A^{T} mathbf{y} geq mathbf{c}, mathbf{y} geq 0 ]

我们现在考虑另一个公司要买原来公司的材料，y表示购买单位材料的价值。显然原来的企业只有卖材料的收益比卖物品高的时候才会卖材料，那么我们只要最小化购买单位材料的总价值，之前物品的收益就最高。感性理解一波，相当于从上面逼近。

by是所有材料的价值，(A^Ty)是一种物品的材料价值

对偶问题推论

我们知道 (A_{i} mathbf{x} leq b_{i}) 会对偶成 (y_{i},) 且 (y_{i} geq 0) 。那么对于 (A_{i} mathbf{x} geq b_{i}) 和 (A_{i} mathbf{x}=b_{i}) 的条件又如何对偶？
(A_{i} mathbf{x} geq b_{i}) 可以写成 (-A_{i} mathbf{x} leq-b_{i},) 那么就可以照常对偶。
对于 (A_{i} mathbf{x}=b_{i},) 我们可以写成两个条件 (A_{i} mathbf{x} leq b_{i}) 且 (-A_{i} mathbf{x} leq-b_{i}) 。这样会对偶出两个变量 (y_{i}^{prime}) 和 (y_{i} ") 。而
他们的系数是恰好相反的，因此可以合并成 (left(y_{i}^{prime}-y_{i}^{prime prime} ight)) 乘系数的形式。而 (y_{i}^{prime}-y_{i}^{prime prime}) 没有 (geq 0) 的限制。因此(A_{i} mathbf{x}=b_{i}) 会对偶出变量 (y_{i},) 且 (y_{i}) 没有 (geq 0) 的限制。

单纯形算法

看不懂 不会 挖坑

例题

NOI2008 志愿者招募

ZJOI2013 防守战线

KM算法

https://www.cnblogs.com/fzl194/p/8834847.html

这东西也不难懂，大概就是给每个点分配一个权值，然后权值相加等于边权的时候才能匹配。不能匹配的时候就把左边都减1，右边都加1，那么对于原来的边不受影响，还新增了可能匹配的边，然后总权值之减了1（左边n个点，右边n-1个点），一定是最优的。