BZOJ 3156 防御准备

Description

Input

第一行为一个整数N表示战线的总长度。

第二行N个整数，第i个整数表示在位置i放置守卫塔的花费Ai。

Output

共一个整数，表示最小的战线花费值。

Sample Input

10
2 3 1 5 4 5 6 3 1 2

Sample Output

18

HINT

1<=N<=10^6,1<=Ai<=10^9

　　这道题显然是一道dp的题。一眼看去，显然可以令$f_i$表示第$i$个位置放防御塔的费用(先说明一下，为了方便计算，我把序列反向后从左到右计算)，令$w_x=sum_{i=1}^{x}i$，那么显然有：$f_{i}=min{f_j+w_{i-j-1}}+a_{i}$。然而这是个$n^2$的dp方程，那么怎么做呢？翻了翻网上的题解，发现几乎都写了斜率优化。然而xzy神犇告诉我决策单调性可做。

　　怎么做呢？不难发现对于位置$i$有两个决策$j,k(j<k)$满足$k$比$j$优，那么对于位置大于$i$的位置也满足这个。证明如下：

　　若对于$j<k$且$f_j+w_{i-j-1}>f_k+w_{i-k-1}$

　　因为$j<k$，所以对于$x>i$有$w_{x-j-1}-w_{i-j-1}>w_{x-k-1}-w_{i-k-1}$

　　所以$f_j+w_{x-j-1}>f_k+w_{x-k-1}$

　　于是我们就可以做了。我们维护一个单调队列，每次先把队首用不到的区间先弹掉，再用队首元素来更新当前答案，最后用这个解来更新后面的解。当我们发现 对于队尾区间的左端点当前解比队列中储存的解更优时，我们可以直接把这个区间给弹掉(想一想，为什么)。这样弹完以后，若队列中已经没有区间，我们就可以将当前解的区间直接加入队列；否则当前解最优的边界就在队尾的区间中，我们需要在这个区间内二分把这一个边界给找出来，然后更改这个区间的右边界并插入区间。

　　这道题是我练习决策单调性优化dp的第一题，对于新手来说还是有一点难度的。代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define maxn 1000010
#define INF (1LL<<50)

using namespace std;
typedef long long llg;

int n,a[maxn],l[maxn],r[maxn],x[maxn],lz,rz;
llg f[maxn];

int getint(){
    int w=0;bool q=0;
    char c=getchar();
    while((c>'9'||c<'0')&&c!='-') c=getchar();
    if(c=='-') q=1,c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar();
    return q?-w:w;
}

inline llg sum(int j,int i){//用j决策来更新f[i] 
    return f[j]+((llg)(i-j)*(i-j-1)>>1);
}

int main(){
    File("a");
    n=getint();
    for(int i=n;i;i--) a[i]=getint(),f[i]=INF;
    f[1]=a[1]; f[n+1]=INF;
    l[rz]=2,r[rz]=n+1,x[rz++]=1;//第一个解需要先处理好
    for(int i=2;i<=n+1;i++){
        while(r[lz]<i && lz<rz) lz++;//更新当前解
        f[i]=sum(x[lz],i)+a[i];//从队尾弹掉没有当前解优的区间
        while(rz>lz && sum(i,l[rz-1])<=sum(x[rz-1],l[rz-1])) rz--;//修改并插入
        if(lz==rz) l[rz]=i+1,r[rz]=n+1,x[rz++]=i;//在队尾区间内二分
        else{
            int ll=l[rz-1],rr=r[rz-1]+1,mid,xx=x[rz-1];//修改并插入
            while(ll!=rr){
                mid=ll+rr>>1;
                if(sum(i,mid)<=sum(xx,mid)) rr=mid;
                else ll=mid+1;
            }
            r[rz-1]=ll-1; l[rz]=ll,r[rz]=n+1,x[rz++]=i;//修改并插入
        }
    }
    printf("%lld",min(f[n],f[n+1]));
    return 0;
}

　　UPD：斜率优化做法：

　　其实这个式子可以推一推。由于$w_x=frac{x(x+1)}{2}$，所以有：$f_i=min{ f_j+frac{(i-j)(i-j-1)}{2} }+a_i$

　　于是对于某一个$j$，有$2f_i-i^2+i-2a_i=2f_j+j^2+j-2ij$

　　这就是个很显然的斜率式了。由于$i$、$j$单增，用一个单调队列维护下凸包即可。

　　代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define maxn 1000010

using namespace std;
typedef long long llg;

struct data{
    llg x,y;
}s[maxn];
int n,a[maxn],d[maxn],l,r;
llg f[maxn];

int getint(){
    int w=0;bool q=0;
    char c=getchar();
    while((c>'9'||c<'0')&&c!='-') c=getchar();
    if(c=='-') c=getchar(),q=1;
    while(c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar();
    return q?-w:w;
}

llg ji(int x){return (llg)x*(llg)x;}
double xie(data x,data y){
    if(x.x==y.x) return 1e100;
    return (double)(y.y-x.y)/(double)(y.x-x.x);
}

int main(){
    File("a");
    n=getint();
    for(int i=n;i;i--) a[i]=getint();
    f[1]=a[1]; s[1].x=1; s[1].y=1+2*f[1]+1;
    l=r=1; d[1]=1;
    for(int i=2;i<=n+2;i++){
        while(l<r && xie(s[d[l]],s[d[l+1]])<=(i<<1)) l++;
        f[i]=f[d[l]]+a[i]+(ji(i-d[l])-(i-d[l]))/2;
        s[i].x=i; s[i].y=ji(i)+2*f[i]+i;
        while(l<r && xie(s[d[r-1]],s[d[r]])>=xie(s[d[r]],s[i])) r--;
        d[++r]=i;
    }
    printf("%lld",min(f[n],f[n+1]));
    return 0;
}