万能的进制哈希

万能的进制哈希

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题外话：

　　为什么要学字符串算法？

　　为了快速比较两个字符串是否相等，众所周知垃圾C++在比较两个字符串的时候效率并不高，所以我们需要设计一种算法更高效地比较字符串

　　大致用途：

　　　　　　1.判断两个字符串是否相等；

　　　　　　2.判断一个字符串是否曾经出现过；

　　　　　　3.让某些用户口吐芬芳的时候网页可以自动屏蔽掉；

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定义：

　　百度百科：Hash，一般翻译做散列、杂凑，或音译为哈希，是把任意长度的输入（又叫做预映射pre-image）通过散列算法变换成固定长度的输出，该输出就是散列值。

　　人话翻译：把字符赋予进制和模数，将每一个字符串映射为一个小于模数数字。

　　具体操作：

　　　　　　我们设置进制（base）为131，模数（mod）为1e9+7，现在我们对一个字符串s进行哈希   

　　char s[10];
　　cin>>(s+1);
　　int len=strlen(s+1);
　　int base=131,mod=1e9+7;
　　for(int i=1;i<=len;++i)
　　{
　　　　hash[i] = ( ( hash[i-1] * base ) + s[i] ) % mod ;
　　}

　　　这样hash[len]里面就是字符串s的哈希值了；

　　　hash还有一个方便的操作就是取子串的hash值

　　　　

    hash[l,r] = ( hash [r] - hash[l-1] * pw[r-l+1] ) %mod
    //伪代码 pw[r-l+1]为base的(r-l+1)次方 

　

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注意：

　　哈希冲突：

　　　　什么是哈希冲突：比如orz的哈希值是2333，然而sto的哈希值也是2333，这样就会产生哈希冲突，从而让哈希算法判断失误。

　   解决方法：

　1.模数选取大质数

　　　　如果选取合数那么他的剩余系将会有所浪费（不了解剩余系请找一篇数论博客QwQ），如果质数过小将会导致剩余系过小，哈希冲突几率增大（质数过大爆负数，谨慎设置）

　2.双模数哈希

　　　　我们可以通过设置两个不同的哈希方式，对于一个字符串，当且仅当两个哈希值都相同时才判定相当。

　　　　这种方法相当有效，除非出题人对着你的数据卡你，否则正确率近乎100%（详情请见BZOJ Hash Killer 3）

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实战应用：

　　1.hash判断最长公共前缀

　　　　POJ2758

　　　　题目概述：给定一个字符串，要求维护两种操作在字符串中插入一个字符询问某两个位置开始的 LCP（最长公共前缀）插入操作次数

　　　　插入<=200，字符串总长度<=50000，查询次数<=20000。

　　　　分析：插入<=200，考虑每次插入暴力维护 复杂度200*50000

　　　　每次查询二分LCP的长度，然后hash O（1）判断是否相等

　　2.哈希判断回文串

　　　　SP7586

　　　　求一个字符串中包含几个回文串？

　　　　manachar?其实哈希也很好用，而且复杂度只多一个log呢QwQ

　　　　对于该串维护正反两个哈希值，我们称为正向哈希和反向哈希

　　　　每次二分一个回文串长度，用正反哈希O（1）判断是否相等

　　　　对于奇偶回文串可以考虑每个字符中间插入一个新字符，也可以分开处理

　　3.线段树维护哈希

　　　　洛谷P2757

　　　　给出一个1到n的排列，问是否存在长度大于等于3的等差子序列

　　　　分析：其实只要找长度等于3的就好了嘛QwQ

　　　　一个01串，从前往后扫描这个序列，将扫描过的数字对应位置变为1

　　　　对于每一个数字，如果目前不能构成等差序列，那么他两侧的01串必然是一个回文串，我们可以对01串维护一个哈希值进行比较

　　　　由于我们需要动态修改和区间查询哈希值，所以我们考虑权值线段树来维护正反哈希。

　　　　线段树维护哈希细节较多，这里我细致地说一下，同时为了代码清晰可读，这里利用unsigned long long 自然溢出，略去取模操作

　　　　

首先一些变量函数

ans1[500010]//正向哈希线段树节点
ans2[500010]//反向哈希线段树节点
query1函数：正向哈希查询
query2函数：反向哈希查询 

线段树push_up向上维护操作

要将正哈希的左儿子的哈希值乘上进制的右区间长度次方，反哈希的右儿子乘上进制的左区间长度次方

    ans1[p] = ans1[ls(p)] * pw[r-mid] + ans1[rs(p)] ;
    ans2[p] = ans2[rs(p)] * pw[mid-l+1] + ans2[ls(p)] ;//注意ls(p)和rs(p)的区别

本题目不需要push_down下放操作，后面会提到

查询时分类讨论：

　　完全在左儿子区间：直接返回左儿子值；

　　完全在右儿子区间：直接返回右儿子值；

　　二者都在：

　　　　　　　正向：左儿子值*右查询长度+右儿子值；

　　　　　　　反向：右儿子值*左查询长度+左儿子值；

inline int query1(int tl,int tr,int l,int r,int p)
{
    if(tl<=l&&r<=tr) return ans1[p];
    if(tr<=mid)    return query1(tl,tr,l,mid,ls(p));
    else if(mid<tl) return query1(tl,tr,mid+1,r,rs(p));
    else
    {
        int lx=query1(tl,tr,l,mid,ls(p));
        int rx=query1(tl,tr,mid+1,r,rs(p));
        return lx*pw[min(tr,r)-mid]+rx; 
    }
}
inline int query2(int tl,int tr,int l,int r,int p)
{
    if(tl<=l&&r<=tr) return ans2[p];
    if(tr<=mid)    return query2(tl,tr,l,mid,ls(p));
    else if(mid<tl) return query2(tl,tr,mid+1,r,rs(p));
    else
    {
        int lx=query2(tl,tr,l,mid,ls(p));
        int rx=query2(tl,tr,mid+1,r,rs(p));
        return rx*pw[mid-max(tl,l)+1]+lx;
    }
}

多测不清空，爆零两行泪

下面贴完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int unsigned long long 
#define ls(p) (p<<1)
#define rs(p) (p<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch;
    for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
    if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return f?x:-x;
}
int T,base=131;
int a[100010],n;
int ans1[500010],ans2[500010];
int pw[100010];
bool flag;
inline void update(int tl,int tr,int l,int r,int p)
{
    if(tl<=l&&r<=tr)
    {
        ans1[p]=ans2[p]=1;
        return;
    }
    if(tl<=mid)
        update(tl,tr,l,mid,ls(p));
    else
        update(tl,tr,mid+1,r,rs(p));
    ans1[p] = ans1[ls(p)] * pw[r-mid] + ans1[rs(p)] ;
    ans2[p] = ans2[rs(p)] * pw[mid-l+1] + ans2[ls(p)] ;
}
inline int query1(int tl,int tr,int l,int r,int p)
{
    if(tl<=l&&r<=tr) return ans1[p];
    if(tr<=mid)    return query1(tl,tr,l,mid,ls(p));
    else if(mid<tl) return query1(tl,tr,mid+1,r,rs(p));
    else
    {
        int lx=query1(tl,tr,l,mid,ls(p));
        int rx=query1(tl,tr,mid+1,r,rs(p));
        return lx*pw[min(tr,r)-mid]+rx; 
    }
}
inline int query2(int tl,int tr,int l,int r,int p)
{
    if(tl<=l&&r<=tr) return ans2[p];
    if(tr<=mid)    return query2(tl,tr,l,mid,ls(p));
    else if(mid<tl) return query2(tl,tr,mid+1,r,rs(p));
    else
    {
        int lx=query2(tl,tr,l,mid,ls(p));
        int rx=query2(tl,tr,mid+1,r,rs(p));
        return rx*pw[mid-max(tl,l)+1]+lx;
    }
}
signed main()
{
    T=read();
    for(int i=pw[0]=1;i<=100000;++i)
        pw[i] = pw[i-1] * base;
    while(T--)
    {
        n=read();
        flag=0;
        memset(ans1,0,sizeof(ans1));
        memset(ans2,0,sizeof(ans2));
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            a[i]=read();
            if(!flag)
            {
                int d=min(a[i]-1,n-a[i]);
                if(d)
                {
                    if(query1(a[i]-d,a[i],1,n,1)^query2(a[i],a[i]+d,1,n,1))
                        flag=1;
                }
                update(a[i],a[i],1,n,1);
            }
        }
        puts(flag?"Y":"N");
    }
return 0;
}

　　4.哈希判断循环节

　　　　CF508E

　　　　给定一个数字串，要求维护以下两个操作：

　　　　1.将l到r区间内数字全部改为k

　　　　2.询问l到r区间内是否存在长度为k的循环节

　　　　前置神仙结论：判断一个字符串[ l , r ] 是否有长度为k的循环节，只需判断 [ l+d , r ] 和 [ l , r-d ] 是否相等。

　　　　有了上述结论，这道题就变成了一个哈希值的区间修改和区间查询问题，再码一颗线段树就可以了

　　　　在这里放一下上面没有展示的push_down下放代码

　　　　

inline void push_down(int l,int r,int p)
{
    int k=tag[p];
    ans[ls(p)] = val[k][mid-l+1]; // val[k][len] 预处理出来 
    ans[rs(p)] = val[k][r-mid];  //表示字符串内全部都是k的长度为len的 哈希值 
    tag[ls(p)]=tag[rs(p)]=tag[p];
    tag[p]=-1; // 修改可能存在 0 所以tag 要赋成 -1  
}
   for(int i=0;i<10;++i)
    {
        for(int j=1;j<=100005;++j)
        {
            val[i][j]=val[i][j-1] * base + i;
        }
    }