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树状数组（BIT）是能够完成下述操作的数据结构：
给定一初始值全为零的数列a1,a2a,a3...,an
1.给定i，计算a1+a2+...+ai
2.给定i和x,执行ai+=x
BIT的结构：
数组bit[N]
bit[1]=C1=A1;bit[2]=C2=C1+A2;
BIT就是使用数组来维护上面所说的部分和
以1结尾的1,3,5,7长度为1
以1个0结尾的2,6长度为2
以两个0结尾的4长度为4
这样，编号的二进制就能和区间对应起来
通过这个性质，实现上述功能
修改操作 ：
修改a[k]后，c数组的哪些元素受到影响？
p1=k肯定受到影响, 设pi的父亲为p(i+1)，则
p(i+1)=pi+2^L，L为pi二进制中末尾0的个数
给a[3]增加x，则p1=3, p2=3+20=4, p3=4+22=8, p4=8+23=16>9，因此修改c[3],c[4],c[8]
它所有的后继（祖先）受影响
找后继
求和操作 ：
设要求前k项的和，则从最后一项开始 k1=k
k(i+1)=ki-2^s,
s为ki二进制末尾0的个数 k=7,
则k1=7, k2=k1-20=6, k3=k2-21=4, k4=k3- 22=0，
因此前7项和为c[7]+c[6]+c[4]
1) a[]: 保存原始数据的数组。(操作(1)求其中连续多个数的和，操作(2)任意修改其中一个元素)
e[]: 树状数组，其中的任意一个元素e[i]可能是一个或者多个a数组中元素的和。如e[2]=a[1]+a[2]; e[3]=a[3]; e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]。
2） e[i]是几个a数组中的元素的和？
如果数字 i 的二进制表示中末尾有k个连续的0，则e[i]是a数组中2^k个元素的和，则e[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+...+a[i-1]+a[i]。
如：4=100(2) e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];
6=110(2) e[6]=a[5]+a[6]
7=111(2) e[7]=a[7]
3) 后继：可以理解为节点的父亲节点。是离它最近的，且编号末位连续0比它多的就是它的父亲,如e[2]是e[1]的后继；e[4]是e[2]的后继。
如e[4] = e[2]+e[3]+a[4] = a[1]+a[2]+a[3]+a[4] ，e[2]、e[3]的后继就是e[4]。
后继主要是用来计算e数组，将当前已经计算出的e[i]添加到他们后继中。
前驱：节点前驱的编号即为比自己小的，最近的，最末连续0比自己多的节点。如e[7]的前驱是e[6],e[6]的前驱是e[4]。
前驱主要是在计算连续和时，避免重复添加元素。
如：Sum(7)=a[1]+...+a[7]=e[7]+e[6]+e[4]。(e[7]的前驱是e[6], e[6]的前驱是e[4])
计算前驱与后继：
lowbit(i) = ( (i-1) ^ i) & i ;
节点e[i]的前驱为 e[ i - lowbit(i) ]；
节点e[i]的后继为 e[ i + lowbit(i) ]
核心思想：
(1)树状数组中的每个元素是原数组中一个或者多个连续元素的和。
(2)在进行连续求和操作a[1]+...+a[n]时，只需要将树状数组中某几个元素的和即可。时间复杂度为O(lgn)
(3)在进行修改某个元素a[i]时，只需要修改树状数组中某几个元素的和即可。时间复杂度为O(lgn)
一维树状数组常用的3个函数
int lowbit(int x) //取x的最低位1，比如4，则返回4，如5，则返回1 { return x&(-x); } void update(int i, int val) //将第i个元素增加val { //i的祖先都要增加val while(i <= n) { sum[i] += val; i += lowbit(i); //将i的二进制未位补位得到其祖先 } } int Sum(int i) //求前i项的和 { int s = 0; //将前i项分段 while(i > 0) { s += sum[i]; i -= lowbit(i); //去掉i的二进制最后一个 } return s; }
基本功能
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; char order[10]; int a[50010]; inline int lowbit(int k) { return k&-k; } inline void update(int i,int N,int plus)///界限N,为第i项加上plus,对应包含它的项也要改变 { while(i<=N) { a[i]+=plus; i+=lowbit(i);///后继改变 } } inline int getsum(int k)///求第1到第k项的和 { int sum=0; while(k) { sum+=a[k]; k-=lowbit(k); } return sum; } int main() { int n; while(~scanf("%d",&n)) { memset(a,0,sizeof(a)); int x; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&x); update(i,n,x); } for(int i=1;i<=n;i++) { printf("%d ",a[i]); } printf("求前5项和： "); printf("%d ",getsum(5)); printf("求3-6项和： "); printf("%d ",getsum(6)-getsum(3)+a[3]); } return 0; }
以下数组下标均默认从1开始
应用一
假如给你一个数组a[ ] = {2,5,3,4,1},求b[i]，b[i] 表示在a[1],a[2]...a[i-1]中(即位置i的左边)小于等于a[i]的数的个数。对此例b[] = {0,1,1,2,0}。 那么该如何去求得b[i]呢？
解法：假如要得到b[4]的值,对于a[4] = 4. 我们 只要得到在a[1],a[2],a[3] 中出现小于等于4的个数，即1,2,3,4的个数,此例即为2. a[1] = 2 < a[4], a[3] = 3 < a[4]. 所以b[4] = 2;其他的以此类推. 求b[i]的值，需要得到在a[1],a[2]....a[i-1]中出现小于等于a[i]的个数，即1,2...a[i]的个数. 相当于求前a[i]项的和，可用到树状数组.
具体操作
for(int i=1; i<=n; i++)
{
b[i] = getSum(a[i]); //求前a[i]项的和
update(a[i],1); //第a[i]个元素+1
}
应用二
假如给你一个数组a[ ] = {2,5,3,4,1},求b[i]，b[i] 表示在a[1],a[2]...a[i-1]中(即位置i的左边)大于等于a[i]的数的个数。对此例b[] = {0,0,1,1,4}。 那么该如何去求得b[i]呢？
解法1: 只需要先将数组a倒过来编号，即将a转换为，a[] ={4,1,3,2,5}.此时具体的操作如应用一
解法2:改变更新路径和求和路径