排序算法----归并排序

归并排序完全遵循分治模式，主要操作分为三步：

1.分解：分解待排序的n个元素序列为2个n/2个元素的子序列。

2.解决：使用归并排序递归的排序两个子序列。

3.合并：合并两个已排序的子序列。

最重要的步骤就是合并2个已经排序的序列。例如：A和B都是从小到大排序的序列。依次对比A的第一个元素和B的第一个元素，把其中较小的元素出序列，插入到C中，直到两个序列中的元素都为空。最后，C序列就是一个包含A序列和B序列且从小到排序的序列。

 伪码：    

Merge（A，p,q,r)
     n1 = q - p + 1
     n2 = r - q
     let L[1..n1 + 1]  and R[1.. n2 + 1] be new arrays
     for i = 1 to n1
          L[i] = A[p + i - 1]
     for j = 1 to n2
          R[i] = A[q + j]
    L[n1 + 1] = ∞
    R[n2 + 1] = ∞
    i = 1
    j = 1
   for k = p to r
       if L[i] <= R[j] 
           A[k] = L[i]
           i = i + 1
        else
           A[k] = R[i]
           j = j + 1

     上述伪码中，其中A为待排序的数组，且A[p..q ]和A[q + 1..r]都是排序好的。9，10行中，在L，R最后插入一个值，作为哨兵值，每当出现哨兵值时，它不可能为较小的值，这样可以简化代码，避免检查L或R为空。

 图例：

      

最后我们使用Merge_sort 排序数组A[p...r]中的元素。若p >= r,时，数组中最多只有一个元素，所以是排序好的，程序结束；否则，分解数组A[p...r]为两个子数组A[p...q]和A[q + 1...r]，然后合并2个子数组。

伪码：   

Merge_sort(A,p,r)
   if p < r
           q = ⌊(p + r) / 2⌋
           Merge_sort(A,p,q)
           Merge_sort(A,q + 1,r)
           Merge(A,p,q,r)

图例：

    

归并排序的时间复杂度：T(n) = O(nlgn)

C++代码：

void Merge(int a[],int p,int q,int r)
{
    int n1 = q - p + 1;
    int n2 = r - q;

    int *L = new int[n1],*R = new int [n2];
    for(int i = 0;i < n1;i++)
    {
        L[i] = a[p + i];
    }
    for(int i = 0;i < n2;i++)
    {
        R[i] = a[q + i + 1];
    }

    for(int k = p,iL = 0,iR = 0; k <= r;k++)
    {
        if(iL != n1 && iR == n2)
            a[k] = *L++;
        if(iR != n2 && iL == n1)
            a[k] = *R++;

        if(iL != n1 && iR != n2)
        {        
            if(*L < *R)
            {
                a[k] = *L;
                L++;
                iL++;
            }
            else
            {
                a[k] = *R;
                R++;
                iR++;
            }
        }
    }
    delete[] (L - n1);
    delete[] (R - n2);
}

//合并排序,T(n) = O(nlgn)
void Merge_sort(int a[],int p,int r)
{
    if(p < r)
    {
        int q = (p + r) / 2;
        Merge_sort(a,p,q);
        Merge_sort(a,q + 1,r);
        Merge(a,p,q,r);
    }
}