【BZOJ】1367: [Baltic2004]sequence

题意

给(n(n le 10^6))个数的序列(a)，求一个递增序列(b)使得(sum_{i=1}^{n} |a_i-b_i|)最小。

分析

神题啊不会。
具体证明看黄源河论文《左偏树的特点及其应用》
思路：

1. 将问题转化为求一个不降序列(b)。
2. 如果(a_1 le a_2 le ... le a_n)，则最优解显然是(b_i=a_i)
3. 如果(a_1 ge a_2 ge ... ge a_n)，则最优解显然是(b_i=w)，其中(w)是(a)序列的中位数(a_{left lfloor frac{n+1}{2} ight floor})
   如果有两段(a_1, a_2, ..., a_n)和(a_{n+1}, a_{n+2}, ..., a_{m})，其中左边的最优解是(b_i=u(1 le i le n))，右边的最优解是(b_i=w(n < i le m))，则
4. 当(u le w)，则最优解显然是(b_i=u(1 le i le n), b_i=w(n < i le m))
5. 当(u > w)时，则最优解是(b_i=x(1 le i le m))，其中(x)是(a)序列的中位数(a_{left lfloor frac{m+1}{2} ight floor})，证明如下：

首先我们来证明，对于任意序列(a)，如果最优解是(b_i=w(1 le i le n))，其中(w)是中位数，那么对于所有的(w le w ' le c_1)或(c_n le w ' le w)，解(b_i=c_i(1 le i le n))都不会比解(b_i=w ' (1 le i le n))更优。
然后我并没有看懂那个归纳证明QAQ
就是这句：

因为如果解变坏了，由归纳假设可知a[2],a[3],...,a[n]的中位数w>u，这样的话，最优解就应该为(u, u, ... , u, w, w, ... ,w )，矛盾。

现在回到(2)，显然最优解中(b_n le u, b_{n+1} ge w)，然后根据刚刚我们证明的东西，则最优解中肯定(b_i=b_n(1 le i < n), b_i=b_{n+1}(n < i le m))。
也就是说，给你(m)个点要求找两个值(u le w)，使得前(n)个点到(u)的距离和加上剩下的点到(w)的距离和最短。显然一组最优解是(u=w=a_{left lfloor frac{m+1}{2} ight floor})

至于思路(1)中怎么转化问题，就很简单了:
(sum_{i=1}^{n} |a_i-b_i| = sum_{i=1}^{n} |(a_i-i)-(b_i-i)|)
则令新的(a ' _ i = a_i - i)就行了。

至于思路(2)中怎么讨论，一个长度为(n)的不降序列可以看做(n)个不升序列。

题解

所以我们从左到右合并，如果新加进来的数和前面的数不构成不升序列，则合并相邻的。
于是问题转化为如何维护中位数。
然后发现对于正整数(n, m)有(left lfloor frac{n+1}{2} ight floor + left lfloor frac{m+1}{2} ight floor ge left lfloor frac{n+m+1}{2} ight floor)，所以我们只需要维护两个区间的中位数及比中位数小的数即可。然后合并的时候再考虑删掉一些数即可。
所以删除最大的数、合并两个东西这个活交给左偏树。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int getint() {
	int x=0;
	char c=getchar();
	for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar());
	for(; c>='0'&&c<='9'; x=x*10+c-'0', c=getchar());
	return x;
}
const int N=1000105;
int q[N], s[N], t[N], n;
struct node *null;
struct node {
	node *c[2];
	int d, w;
	void init(int _w) {
		c[0]=c[1]=null;
		w=_w;
		d=0;
	}
	void up() {
		if(c[0]->d<c[1]->d) {
			swap(c[0], c[1]);
		}
		d=c[1]->d+1;
	}
}Po[N], *iT=Po, *root[N];
inline node *newnode(int w) {
	iT->init(w);
	return iT++;
}
inline node *merge(node *l, node *r) {
	if(l==null || r==null) {
		return l==null?r:l;
	}
	if(l->w<r->w) {
		swap(l, r);
	}
	l->c[1]=merge(l->c[1], r);
	l->up();
	return l;
}
int main() {
	null=newnode(-(~0u>>1));
	null->c[0]=null->c[1]=null;
	n=getint();
	int top=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i, ++top) {
		root[top+1]=newnode(t[i]=getint()-i);
		q[top+1]=i;
		s[top+1]=1;
		for(; top && root[top]->w>root[top+1]->w; --top) {
			s[top]+=s[top+1];
			root[top]=merge(root[top], root[top+1]);
			for(int mid=(i-q[top]+2)>>1; s[top]>mid; --s[top], root[top]=merge(root[top]->c[0], root[top]->c[1]));
		}
	}
	long long ans=0;
	q[top+1]=0;
	top=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		for(; q[top+1]==i; ++top);
		ans+=abs(t[i]-root[top]->w);
	}
	printf("%lld
", ans);
	return 0;
}