【初识】树上分块

树上的有些问题是可以用树剖或者动态树解决的，但是他们有一个动同点就是：不连通。

• 比如求u到v的路径权值和，或者最大值：

                u到v可能对应了多个链，这多个链在对应的数据结构（假设是线段树）上面对应不同的区间。但是线段树上这几个区间的不连续并不影响我们得到答案。

                (当然求子树的信息话是连续区间)

那么如果我们遇到的问题要求区间连续呢，比如求u到v的路径上点的权值有多少种？如果不连续就得处理链与链之间的关系。显然这些点得待在一起，如果树剖很难维护链与链之间的关系。

树分块，大概有这样的一些方法： 

• 王室联邦分块法：可以保证每个块的大小和直径都不超过2√N−1，但是不保证块联通 

• DFS序分块法：首先是好写（毕竟转化成了序列问题），严格保证块大小√N，但是不保证直径，也不保证联通。处理子树信息比较方便 

• size分块：检查当前节点的父亲所在块的大小，如果小于√N就把当前节点加入进去，不然新开块。块大小最坏√N，保证块内联通，还保证直径，多么优美啊可惜不能保证块个数（一个菊花图就死了）

 

王室联邦分块，假设每个块的数量个数为[B,3B].

     如何分组可以看,裸题 BZOJ1086 王室联邦。 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int const maxn=2010;
int q[maxn],group[maxn],rt[maxn],top;
int Laxt[maxn],Next[maxn],To[maxn],cnt,ans;
int n,B;
void init()
{
    ans=0;  top=0;  cnt=0; 
    memset(Laxt,0,sizeof(Laxt));
}
void add(int u,int v)
{
    Next[++cnt]=Laxt[u];
    Laxt[u]=cnt;
    To[cnt]=v;
}
void dfs(int u,int pre)
{
    int Now=top;
    for(int i=Laxt[u];i;i=Next[i]){
        if(To[i]!=pre){
           dfs(To[i],u);
           if(top-Now>=B) { rt[++ans]=u; while(top!=Now) group[q[top--]]=ans;}
        }
    } q[++top]=u;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&B)){
        int u,v; init();
        for(int i=1;i<n;i++){
            scanf("%d%d",&u,&v);
            add(u,v);add(v,u);
        }   dfs(1,0);
        while(top) group[q[top--]]=ans;  printf("%d
",ans);
        for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",group[i]);printf("
");
        for(int i=1;i<=ans;i++) printf("%d ",rt[i]);printf("
");
    } return 0;
}

 

再稍微介绍一下王室联邦分块是干嘛的：

     我们dfs，把子树中大于B的分为一组，剩余的（肯定小于B）上传分到父亲那组。由于父亲那组大于B，加进去小于3B。每一组即比较平均了，B的大小会影响空间和时间的优劣，需要根据题目给定的时间和空间，时间多空间小就B大，空间多时间少就B小。从而来决定B的大小。

     这样分块是为了莫队的排序，而不是预处理保存信息。比如，(u,v) 转移到(a,b)，由于u和a或在一个组里面，即距离不太远，转移时间不太大。

例题： Count on a tree II ，SPOJ - COT2，代码见这里。

 求节点u到节点v路径上节点数值的种类。 此题有很多种牛逼做法，见此处的整理。

对于不要求在线的题，我们可以可以选择莫队算法：根据王室联邦分块来分块排序，按顺序转移得到答案，可以参考这里的代码。