背包问题

1、给你一个可装载重量为 W 的背包和 N 个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第 i 个物品的重量为 wt[i]，价值为 val[i]，现在让你用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？

思路：0-1背包问题，注意dp[ ]的定义，状态转移的公式，

# dp[N][W] 代表 对于前 i 个物品，当前背包的容量为 w，这种情况下可以装的最大价值是dp[i][w]

def knapsack(W, N, wt, val):
    dp = [[0 for i in range(W+1)] for j in range(N+1)]
    for i in range(1, N+1):
        for w in range(1, W+1):
            if w - wt[i-1] < 0:  # 如果重量超重，保留之前的价值
                dp[i][w] = dp[i-1][w] 
            else:  # 如果重量没有超重，之前价值 和 当前的价值  取最大值
                dp[i][w] = max(dp[i-1][w-wt[i-1]] + val[i-1], dp[i-1][w])
    print(dp)
    return dp[N][W]

2、完全背包问题，即必须刚好填满背包，而01背包是可以少于背包空间

思路：定义dp[ ]，定义转移方程，初始化

def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        # 问题可以转化为背包问题
        # 定义dp[i][j]， 表示为前i个硬币中，凑够j金额，的方法
        # 定状态转移公式： 不装进背包，保留前一个 -- dp[i][j] = dp[i-1][j]
        #                  装进背包，当前的数目 + 前一个方法数  --  dp[i][j] = dp[i-1][j-coins[i-1]] + dp[i-1][j] 
        
        n = len(coins)
        dp = [[0 for i in range(amount+1)] for j in range(n+1)]
        for i in range(n+1):
            dp[i][0] = 1 # 所有的凑不够的方法都至少有一个
        
        for i in range(1, n+1):
            for j in range(1, amount+1):
                if j - coins[i-1] < 0: # 超过金额数目,则令前i-1个物体的方法数 等于 当前方法数
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]
                else:
                    dp[i][j] = dp[i][j-coins[i-1]] + dp[i-1][j] # 综合两种方法，即放进包和不放进包
        return dp[n][amount]