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什么是齐次坐标？
简单的说：齐次坐标就是在原有坐标上加上一个维度：
使用齐次坐标有什么优势？
1、能非常方便的表达点在直线或平面上
在2D平面上，一条直线 l 可以用方程 ax + by + c = 0 来表示，该直线用向量表示的话一般记做
我们知道点p = (x, y)在直线 l 上的充分必要条件是 ax + by + c = 0
如果使用齐次坐标的话，点p的齐次坐标就是
p'=(x, y, 1)
那么 ax + by + c = 0 就可以用两个向量的内积（点乘）来表示：
因此，点p在直线l上的充分必要条件就是 直线l 与p的齐次坐标p'的内积：
是不是很方便呢！
同理，我们知道 三维空间的一个平面A可以用方程 ax + by + cz + d = 0 来表示，三维空间的一个点P=(x, y, z) 的齐次坐标 P'=(x, y, z, 1)，类似的，点P在空间平面A上可以用两个向量的内积来表示，如下：
因此，点P在平面A上的充分必要条件就是平面A 向量与P的齐次坐标P'的内积（点乘）：
2、方便表达直线与直线，平面与平面的交点
先给出结论，后面再具体解释：
结论：在齐次坐标下，可以用两个点 p, q 的齐次坐标叉乘结果来表达一条直线 l，也就是
l = p x q
也可以使用两条直线 l, m 的叉乘表示他们的交点 x
x = l x m
见下面示例图。
之所以可以这么简洁的表示交点是因为采用了齐次坐标的表示方式。
那么这是为什么呢？
先介绍一下叉乘（也称叉积、外积）的概念：
两个向量 a和b 的叉乘仅在三维空间中有定义，写作 a x b
a x b 是与向量 a, b都垂直的向量，其方向通过右手定则（见下图）决定。
其模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积（见下图）。
叉乘可以定义为：
其中 θ表示a, b的夹角（0°到180°之间），||a||, ||b||是向量a, b的模长
n则是一个与向量a, b所构成的平面垂直的单位向量
根据叉乘定义：
向量自身叉乘结果为0，因为夹角为0。也就是说三维向量 a x a =0, b x b = 0而点乘（也称点积，内积）的定义是
a * b = ||a||* ||b|| *cos(θ)
根据定义：如果两个向量垂直，cos(θ) = 0，点积也为0。
好了，经过上面点乘和叉乘定义的铺垫。下面来推导一下上面的结论：
为什么两条直线 l, m 的叉乘 l x m 等于它们的交点 p，也就是 p = l x m？
原因如下：首先，根据前面叉乘的定义，l x m 的结果向量（记为 p = l x m） 与 l 和 m都垂直，根据点乘的定义，垂直的向量之间的点积为0，因此可以得到：
因此，根据前面点在直线上的结论，可以看到p既在直线l 上又在直线m上，所以 p = l x m 是两条直线的交点。此处 p 是齐次坐标。
同样的，可以证明，两点p, q 的叉乘 可以表示 过两点的直线l，即 l = p x q。（留做作业）
3、如何区分一个向量和一个点
先给出结论：
(1)从普通坐标转换成齐次坐标时
如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);
如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)
(2)从齐次坐标转换成普通坐标时
如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);
如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)
具体解释见：
http://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html
4、能够表达无穷远
比如 两条平行的直线 ax+by+c=0, ax+by+d=0，
可以分别用向量 l = (a, b, c), m = (a, b,d)表示
根据前面直线交点的计算方法，其交点为 l x m
根据叉乘计算法则
向量
的叉乘结果可以用如下方法计算得到
最终：l x m = (d-c)(b,-a,0)，忽略标量(d-c)，我们得到交点为(b,-a,0)，并且是齐次坐标，如果要转化为非齐次坐标，那么会得到 (b/0, a/0)，坐标是无穷大，可以认为该点为无穷远点，这与我们通常理解的：平行线相交于无穷远的概念相吻合。
因此，如果一个点的齐次坐标中，最后一个元素为0，则表示为无穷远点。
5、更简洁的表达欧氏空间变换
这是齐次坐标最重要的一个优势之一。在以后的学习中你会更加深刻的理解。
使用齐次坐标，可以方便的将加法转化为乘法，方便的表达平移。
比如我们要完成将2D坐标点x=[u,v]' 平移t=[tu, tv]，如果用非齐次方法的话，是用如下的加法
如果用齐次坐标表示时可以将加法转换为乘法
在欧氏变换中一般有两种操作：旋转和平移。
如果我们想要将向量a进行一个标准的欧氏变换，一般是先用旋转矩阵R进行旋转，然后再用向量t进行平移，其结果a' = R*a + t，这样看起来没什么问题。
但是，我们知道SLAM中一般都是连续的欧氏变换，所以会有多次连续的旋转和平移，假设我们将向量a进行了两次欧氏变换，分别为R1, t1 和 R2，t2，分别得到：
b = R1*a + t1, c = R2*b + t2
最终的结果 c = R2*(R1*a + t1) + t2
显然，这样的变换在经过多次后会变的越来越复杂。其根本原因是上述表达方式并不是一个线性的变换关系。
此时，齐次坐标就显示出它的魅力了，如果使用齐次坐标来表达 a' = R*a + t 的话可以写为：
旋转和平移可以用一个矩阵T来表示，该矩阵T称为变换矩阵（transform matrix），这样欧氏变换就变成了线性关系，进行多次欧氏变换只需要连乘变换矩阵就行了，比如前面的两次欧氏变换使用齐次坐标就可以表示为：
其中，波浪号代表齐次坐标。一般的，在SLAM中，b = Ta 的形式默认都是齐次坐标。
