统计数字问题

问题描述：
一本书的页码从自然数1 开始顺序编码直到自然数n。书的页码按照通常的习惯编排，每个页码都不含多余的前导数字0。例如，第6 页用数字6 表示，而不是06 或006 等。数字计数问题要求对给定书的总页码n，计算出书的全部页码中分别用到多少次数字0，1， 2，…，9。
编程任务： 给定表示书的总页码的10 进制整数n (1≤n) 。编程计算书的全部页码中分别用到多少次数字0，1，2，…，9。

分析与解答：

由0,1,2……9组成的所有的n位数，从n个0到n个9共有10^n个n位数，其中全排列的情况下，每个数字使用的次数一样，设为f(n).

0 0 0 0 ...... 0

0 0 0 0 ...... 1

.............

9 9 9 9 ...... 9

 

公式可以这么理解：n位数字 数i的总次数为f(n) =  

　　　　　　　　　　　　　　　　  n-1位数字的数i的总次数f(n-1)与第一位为0-9 组合 　　= 10f(n-1)

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　+

　　　　　　　　　　　　　　　　　第一位数字为数i,其他n-1位为0-9组合全排列的数i的次数　　=10^n-1

 

我们其实可以知道：f(n)=n10^n-1

据此，可以从高向低位进行统计，再减去多余的0的个数即可。

 

void Statistical(int n) {

　　　　　　//声明一个数组记录从0到9出现的次数

            int[] count = { 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 }; 

          int len = (int)Math.Log10(n);  //计算去掉最高位的位数

            int tempLen = len;

　　　　　　//位数为len的全排列的情况 每个数字出现次数

            int mode = (int)Math.Pow(10, tempLen);                    

　　　　　　int h = n / mode;                //获取最高位数值

            n %= mode;

            while (tempLen > 0) //直到当位数为2位以上

            {            
　　　　　　　　//计算去掉最高位数字段，每个数字使用的次数一样为f(n) n为去掉最高位后位数 根据全排列的情况下

                for (int i = 0; i < 10; i++)

                {

                    count[i] += h * tempLen * mode / 10;

                }

 

　　　　　　　　//计算最高位为0~h-1时， 0~h-1 数字出现的次数为去掉最高位 全排列次数

                for (int i = 0; i < h; i++)     count[i] += mode;

 

　　　　　　　　//计算最高位位h时出现次数为：去掉最高位的数字 + 1（加1是因为从0开始)

                count[h] += n + 1;

                mode = (int)Math.Pow(10, --tempLen);

                h = n / mode;

                n %= mode;

            }

 

           //计算当位数为1时的次数

            for (int i = 0; i <= h; i++)    count[i] += 1;

 

           //去掉前导0的个数

            tempLen = len;

            for (int i = 0; i < len; i++)

            {

                mode = (int)Math.Pow(10, tempLen--);

                count[0] -= mode;

            }

        }