文本比较算法Ⅳ——Nakatsu算法

　　在“文本比较算法Ⅰ——LD算法”、“文本比较算法Ⅱ——Needleman/Wunsch算法”中介绍的LD算法和LCS算法都是基于动态规划的。它们的时间复杂度O(MN)、空间复杂度O(MN)（在基于计算匹配字符串情况下，是不可优化的。如果只是计算LD和LCS，空间占用可以优化到O(M)）。

　　Nakatsu算法在计算匹配字符串的情况下，有着良好的时间复杂度O(N(M-P))和空间复杂度O(N²)，而且在采取适当的优化手段时，可以将空间复杂度优化到O(N)，这是一个很诱人的结果。下面将全面介绍Nakatsu算法。

　　字符串A和字符串B，计算LCS(A,B)

　　定义一：设M=Len(A)，N=Len(B)，不失一般性，假设M≤N。（为后面的计算提供方便。若不满足，交换A、B即可）

　　定义二：A=a₁a₂……a_M，表示A是由a₁a₂……a_M这M个字符组成

　　　　　　B=b₁b₂……b_N，表示B是由b₁b₂……b_N这N个字符组成

　　　　　　LCS(i,j)=LCS(a₁a₂……a_i,b₁b₂……b_j)，其中1≤i≤M，1≤j≤N

　　定义三：L(k,i)表示，所有与字符串a₁a₂……a_i有长度为k的LCS的字符串b₁b₂……b_j中j的最小值。

　　　　　　用公式表示就是：L(k,i)=Min｛j｝ Where LCS(i,j)=k

　　　　　　这个概念比较拗口，比较难以理解。笔者也是反复研读多次，才理解的。

　　　　　　用一个例子来说明：A="CD"，B="CEFDRT"。

　　　　　　很明显的是LCS(2,1)=1，LCS(2,2)=1，LCS(2,3)=1。

　　　　　　满足LCS(2,j)=1这个条件的j有三个，分别是j=1、j=2、j=3。其中j最小值是1。故L(1,2)=1

　　为了推导L的计算，有下面几个定理。

　　定理一：任意的i，1≤i≤M。有L(1,i)＜L(2,i)＜L(3,i)……

　　定理二：任意的i，1≤i≤M-1。任意的k，1≤k≤M。有L(k,i+1)≤L(k,i)

　　定理三：任意的i，1≤i≤M-1。任意的k，1≤k≤M－1。有L(k,i)＜L(k+1,i+1)

　　定理四：如果L(k,i+1)存在，则L(k,i+1)的计算公式为

　　　　　　L(k,i+1)=Min｛Min｛j｝，L(k,i)｝ Where ｛a_i+1=b_j And j>L(k-1,i)｝

　　上面四个定理证明从略。可以从上面四个定理推导出L的计算。

　　故，L的计算公式为

　　　　L(1,1)=Min｛j｝ Where ｛a₁=b_j｝

　　　　L(1,i)=Min｛Min｛j｝ Where ｛a_i=b_j｝，L(1,i-1)｝ 　　此时，i＞1

　　　　L(k,i)=Min｛Min｛j｝ Where ｛a_i=b_j  And j＞L(k-1,i-1)｝，L(k,i-1)｝ 　　此时，i＞1，k＞1

　　　　注：以上公式中，若找不到满足Where后面条件的j，则j=MaxValue

　　　　　　当i＜k时，则L(k,i)=MaxValue

　　　　　　MaxValue是一个常量，表示“不存在”

　　举例说明：A=GGATCGA，B=GAATTCAGTTA，计算LCS(A,B)

　　第一步：初始化L矩阵，表格中V=MaxValue。

 

Nakatsu算法L矩阵

	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7
k=1
k=2	V
k=3	V	V
k=4	V	V	V
k=5	V	V	V	V
k=6	V	V	V	V	V
k=7	V	V	V	V	V	V

　　第二步：依据上面的计算公式，计算表格的其余单元格

Nakatsu算法L矩阵

	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7
k=1	1	1	1	1	1	1	1
k=2	V	8	2	2	2	2	2
k=3	V	V	11	4	4	4	3
k=4	V	V	V	V	6	6	6
k=5	V	V	V	V	V	8	7
k=6	V	V	V	V	V	V	11
k=7	V	V	V	V	V	V	V

　　第三步：在矩阵中找寻对角线

 　　　　1、先找如下的对角线，对角线中有四个单元格的值是V(MaxValue)。不是本算法的合适答案

Nakatsu算法L矩阵

	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7
k=1	1	1	1	1	1	1	1
k=2	V	8	2	2	2	2	2
k=3	V	V	11	4	4	4	3
k=4	V	V	V	V	6	6	6
k=5	V	V	V	V	V	8	7
k=6	V	V	V	V	V	V	11
k=7	V	V	V	V	V	V	V

 　　　　2、再找右边的一条对角线。

Nakatsu算法L矩阵

	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7
k=1	1	1	1	1	1	1	1
k=2	V	8	2	2	2	2	2
k=3	V	V	11	4	4	4	3
k=4	V	V	V	V	6	6	6
k=5	V	V	V	V	V	8	7
k=6	V	V	V	V	V	V	11
k=7	V	V	V	V	V	V	V

　　　　　　对角线上的所有单元格的值都不是V(MaxValue)。故本对角线就是算法的求解。

　　　　　　LCS(A,B)就是对角线的长度。故LCS(A,B)=6。

　　　　　　本算法的精妙之处就在于这六个单元格的值所对应的字符串B的字符就是最长公共子串。

　　　　　　最长公共子串：b₁b₂b₄b₆b₈b₁₁=GATCGA

　　　　　　再将最长公共子串在两个字符串中搜索一遍，能得出字符串的匹配字串。

　　　　　　　　A：GGA_TC_G__A

　　　　　　　　B：GAATTCAGTTA

　　　　　　　　注：原本以为能很容易得出匹配字符串。不过现在看来还需费一番周折，也是考虑不周。不过已经有大概的解决方案，留待后文介绍。

　　　　　　

　　

　　Nakatsu算法关键就是找寻满足条件对角线（对角线的值没有MaxValue）,故计算的过程可以沿着对角线进行，先计算第一条对角线，看是否满足对角线条件，满足则退出，不满足则继续计算下一条对角线，直到计算出满足条件的对角线。

　　假设LCS(A,B)=P，则一共需要计算M-P+1条对角线，每条对角线的比较次数为N，则Nakatsu算法的时间复杂度为O((M-P+1)N)，空间复杂度为O(M²)，但由于计算顺序的优化，可以将空间复杂度降为O(M)，这应该是令人满意的了。有关的Nakatsu算法的优化，留待后文介绍。

　　本文参考《最长公共子序列的问题的改进快速算法》作者：李欣、舒风笛。在此，向他们表示敬意。

　　若各位网友谁有更好的文本比较算法，也欢迎写博交流。