动态规划学习笔记

案例1、最长回文序列
一个字符串有许多子序列，比如字符串abcfgbda，它的子序列有a、bfg、bfgbd，在这些子序列中肯定有回文字符串。现在要对任意
字符串求其最长的回文子序列。注意，本文不是解决最长回文子串，回文子串是连续的，回文子序列是不连续的。字符串abcfgbda
的最长回文子序列为abcba，长度为5。
输入：包含若干行，每行有一个字符串，字符串由大小写字母构成，长度不超过100。
输出：对每个输入，输出一行，该行有一个整数，表示最长回文子序列的长度。

Example
Input:

a
abcfgbda

Output:

1
5
解题思路：
对任意字符串，如果头和尾相同，那么它的最长回文子序列一定是去头去尾之后的部分的最长回文子序列加上头和尾。如果头和尾
不同，那么它的最长回文子序列是去头的部分的最长回文子序列和去尾的部分的最长回文子序列的较长的那一个。
设字符串为str，dp(i,j)表示str[i..j]的最长回文子序列。
状态转移方程如下：
当i > j时，dp[i,j]= 0。
当i = j时，dp[i,j] = 1。
当i < j并且str[i] == str[j]时，dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2;
当i < j并且str[i] ≠ str[j]时，dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i+1][j]);
注意如果i+1 == j并且str[i] == str[j]时，dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2 = dp[j,j-1]+2 = 2，这就是“当i > j时f(i,j)=0”的好处。
由于dp[i][j]依赖i+1，所以循环计算的时候，第一维必须倒过来计算，从len-1到0。
最后，s的最长回文子序列长度为dp[0][len-1]。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 105;
char str[N];
int dp[N][N];

int main()
{
    while(~scanf("%s",str)) {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int len = strlen(str);
        for(int i = len-1; i >= 0; --i) {
            dp[i][i] = 1;
            for(int j = i+1; j < len; ++j)
                if(str[i] == str[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i+1][j]);
                }
        }
        printf("%d
",dp[0][len-1]);
    }
    return 0;
}

我们发现计算第i行时只用到了第i+1行，这样我们便不需要n行，只需要2行即可。
起初先在第0行计算dp[len-1]，然后用第0行的结果在第1行计算dp[len-2]，再用第1行的结果在第0行计算dp[len-3]，以此类推。正在
计算的那行设为now，那么计算第now行时，就要用第1-now行的结果。这种方法很巧妙。
当计算完成时，如果len是奇数，则结果在第0行；如果是偶数，则结果在第1行。
此空间复杂度为O(n)。
优化后的代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 105;
char str[N];
int dp[2][N];

int main()
{
    while(~scanf("%s",str)) {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int len = strlen(str);
        int cur = 0;
        for(int i = len-1; i >= 0; --i) {
            dp[cur][i] = 1;
            for(int j = i+1; j < len; ++j)
                if(str[i] == str[j]) {
                    dp[cur][j] = dp[1-cur][j-1]+2;
                } else {
                    dp[cur][j] = max(dp[cur][j-1],dp[1-cur][j]);
                }
            cur = 1-cur;
        }
        if(len%2) {
            printf("%d
",dp[0][len-1]);
        } else {
            printf("%d
",dp[1][len-1]);
        }
    }
    return 0;
}