P2144 [FJOI2007]轮状病毒

题目描述

轮状病毒有很多变种。许多轮状病毒都是由一个轮状基产生。一个n轮状基由圆环上n个不同的基原子和圆心的一个核原子构成。2个原子之间的边表示这2个原子之间的信息通道，如图1。

n轮状病毒的产生规律是在n轮状基中删除若干边，使各原子之间有唯一一条信息通道。例如，共有16个不同的3轮状病毒，入图2所示。

给定n(N<=100)，编程计算有多少个不同的n轮状病毒。

输入输出格式

输入格式：

第一行有1个正整数n。

输出格式：

将编程计算出的不同的n轮状病毒数输出

输入输出样例

输入样例#1： 

3

输出样例#1： 

16

Solution：

　　本题打表找规律，高精码农题。

　　随便什么姿势(手推或者爆搜)，反正先打个表：$1,5,16,45,121,320,841,2205$。

　　可以用各种角度找规律：

　　　　1、稍微复杂点的规律：观察奇数项：$1^2,4^2,11^2,29^2$，指数均为$2$，而底数$a_i=3*a_{i-1}-a_{i-2},i>2$。再观察偶数项：$5*1^2,5*3^2,5*8^2,5*21^2$，系数均为$5$，指数均为$2$，而底数$a_i=3*a_{i-1}-a_{i-2},i>2$。所以我们可以奇偶分开求。

　　　　2、简单点的规律：直接整体看，发现$a_i=3*a_{i-1}-a_{i-2}+2,i>2$。

　　随便递推一波发现会爆long long，于是上线高精码农（~>_<~）。

代码：

/*Code by 520 -- 9.18*/
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define RE register
#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
using namespace std;
const int Base=1e5;
int n,m;
struct node{
    ll f[105],len;
    il void Clr(){memset(f,0,sizeof(f)),len=0;}
    il void Push(ll x){f[len=1]=x;}
    node operator + (const node &x) const {
        node tp;tp.Clr();tp.len=max(len,x.len)+10;
        For(i,1,tp.len)
            tp.f[i]+=f[i]+x.f[i],
            tp.f[i+1]+=tp.f[i]/Base,
            tp.f[i]%=Base;
        For(i,1,tp.len) tp.f[i+1]+=tp.f[i]/Base,tp.f[i]%=Base;
        while(tp.len&&!tp.f[tp.len]) tp.len--;
        return tp;
    }
    node operator - (const node &x) const {
        node tp;tp.Clr();tp.len=len+10;
        For(i,1,tp.len) {
            tp.f[i]+=f[i]-x.f[i];
            if(tp.f[i]<0) tp.f[i+1]--,tp.f[i]+=Base;
        }
        For(i,1,tp.len) tp.f[i+1]+=tp.f[i]/Base,tp.f[i]%=Base;
        while(tp.len&&!tp.f[tp.len]) tp.len--;
        return tp;
    }
    node operator * (const node &x) const {
        node tp;tp.Clr();tp.len=len+x.len+10;
        For(i,1,len) For(j,1,x.len)
            tp.f[i+j-1]+=f[i]*x.f[j],
            tp.f[i+j]+=tp.f[i+j-1]/Base,
            tp.f[i+j-1]%=Base;
        For(i,1,tp.len) tp.f[i+1]+=tp.f[i]/Base,tp.f[i]%=Base;
        while(tp.len&&!tp.f[tp.len]) tp.len--;
        return tp;
    }
    il void Output(){
        printf("%lld",f[len]);
        Bor(i,1,len-1) printf("%05lld",f[i]);
    }
}a[105],tp[2];

int main(){
    cin>>n,tp[0].Push(3),tp[1].Push(2);
    a[1].Push(1),a[2].Push(5);
    For(i,3,n) a[i]=a[i-1]*tp[0]-a[i-2]+tp[1];
    a[n].Output();
    return 0;
}