[LeetCode] 数学计算模拟类问题：加法，除法和幂，注意越界问题。题 剑指Offer，Pow(x, n) ，Divide Two Integers

引言

数学计算的模拟类题目，往往是要求实现某种计算(比如两数相除)，实现的过程中会有所限定，比如不允许乘法等等。

这类题目首先要注意计算过程中本身的特殊情况。比如求相除，则必须首先反映过来除数不能为0。

其次要记得考虑负数的情况，如果计算范围不单单是整数，还要考虑double的比较方式。

最后要注意越界情况，这个是最容易犯错的，只能具体问题具体分析。

例题 1 不用"+ - * / "做加法

 这道题来自于剑指Offer，为了归类，我把它放到了这里。

面试题 47(*)，不用加减乘除做加法(位运算易想到，怎么用就是个技术活了)(附 不定义新变量前提下交换两数的方法)

例题 2 Pow(x, n)

 Implement pow(x, n).

class Solution {
public:
    double pow(double x, int n) {
        
    }
};

这道题目我在 面试题 11，求double类型的n次幂(double数值的比较不能用==，求幂的logN复杂度方法) 中写过。

要注意的就是：

1) 0 的 0 次幂无意义。

2) 0的负数次幂无意义。

3) 所有非零数的 0次幂为1。

4) double x 判断是否为0时，不能用简单的 == 0判断，因为double类型总是存在误差。

实现，时间复杂度 log(n)，"n"是函数中的参数n

class Solution {
public:
    double pow(double x, int n) {
        if(n == 0) return 1;
        if(equal(x, 0.0)) return 0;
        return (n > 0 ? powCore(x, n) : 1.0/powCore(x, -n));
    }
private:
    bool equal(double x, double y){
        if((x-y) < 0.00001 && (x-y) > -0.00001) return true;
        return false;
    }
    double powCore(double x, int n){
        if(n == 0) return 1;
        double tmp = pow(x, n/2);
        return tmp*tmp*(n&1 ? x : 1);
    }
};

 另一个不用递归直接迭代实现的版本：

class Solution {
public:
    double pow(double x, int n) {
        if(n == 0) return 1;
        if(n < 0 && (x < 0.000001 && x > -0.000001)){
            if(n < 0) return (1 << 63);
        }
        bool pos = (n > 0);
        unsigned int tmp = abs(n);
        double res = 1.0;
        while(tmp){
            if(tmp&1) res *= x;
            tmp = tmp >> 1;
            x *= x;
        }
        return (pos ? res : (double)(1.0/res));
    }
};

例题 3 Divide Two Integers

Divide two integers without using multiplication, division and mod operator.

class Solution {
public:
    int divide(int dividend, int divisor) {
    }
};

这道题相较于前一道稍复杂些。首先考虑divisor为0的情况，再考虑负数的情况。

接着考虑解体方法，由于乘除都不能用，只能用加法，而如果直接累加自然会超时。我的思路是定义一个长32的数组path[32]，path[0] = divisor, path[i] = path[i-1] + path[i-1]。path[32]不一定全被填满，当计算出path[i] > dividend时，path[i] 就不会被记录。由于path[i] 有大于 dividend的可能，因此临时存储计算结果的数定义为long long。

然后用这个path[32] 去凑成dividend，相除结果其实就是凑得过程中 1 << i 的相加(i 是 path[] 的 index)。

第一版代码如下：

class Solution {
public:
    int divide(int dividend, int divisor) {
        if(divisor == 0) return 0;
        if(dividend == 0) return 0;
        
        bool minus1 = false, minus2 = false, minus = false;
        if(divisor < 0){
            divisor = (0 - divisor);
            minus1 = true;
        }
        if(dividend < 0){
            dividend = (0 - dividend);
            minus2 = true;
        }
        minus = (minus1 ^ minus2); //结果的正负号, minus若为true，结果就添加负号。
        
        if(dividend < divisor) return 0;
        long long cache = divisor;
        int* path = new int[32];
        int ind = 0;
        for(; cache <= dividend; path[ind] = (int)cache, ++ind, cache += cache); //填充path[]
        cache = path[--ind]; int res = 1 << ind; //从path的最末尾开始凑dividend
        while(ind >= 0){
            if(cache == dividend) return minus ? (0-res) : res;
            if(cache > dividend){
                cache -= path[ind];
                res -= 1 << ind;
            }
            for(--ind; ind >= 0 && cache < dividend; cache += path[ind], res += 1 << ind);
        }
        return minus ? (0-res) : res;
    }
};

这版代码在执行 sln.divide(-1010369383, -2147483648) 出现错误。

原因在于 开始的

dividend = (0 - dividend);

补码表示下，int下限绝对值比上限绝对值大1。dividend = -2147483648时，0-dividend 结果并非是2147483648。因此dividend 和 divisor的绝对值应该用unsigned int 表示。

考虑到这一点，当dividend = -2147483648 时，res 和 path 也有越过 int上限的可能，因此它们应该定义为 unisgned int。

改进后的代码，改动了一些参数的 格式，这次AC了。

class Solution {
public:
    int divide(int dividend, int divisor) {
        if(divisor == 0) return 0;
        if(dividend == 0) return 0;
        
        bool minus1 = false, minus2 = false, minus = false;
        unsigned int divd, divr;
        if(divisor < 0){
            divr = (0 - divisor);
            minus1 = true;
        }else{
            divr = divisor;
        }
        if(dividend < 0){
            divd = (0 - dividend);
            minus2 = true;
        }else{
            divd = dividend;
        }
        minus = (minus1 ^ minus2); //结果的正负号, minus若为true，结果就添加负号。
        
        if(divd < divr) return 0;
        long long cache = divr;
        unsigned int* path = new unsigned int[32];
        int ind = 0;
        for(; cache <= divd; path[ind] = (unsigned int)cache, ++ind, cache += cache); //填充path[]
        cache = path[--ind]; unsigned int res = 1 << ind; //从path的最末尾开始凑dividend
        while(ind >= 0){
            if(cache == divd) return minus ? (0-res) : res;
            if(cache > divd){
                cache -= path[ind];
                res -= 1 << ind;
            }
            for(--ind; ind >= 0 && cache < divd; cache += path[ind], res += 1 << ind);
        }
        return minus ? (0-res) : res;
    }
};