一。概念
线段树是用于处理区间的复杂度为O(log n)一类数据结构。线段树是一棵完美二叉树（区别于完全二叉树）。树上的每个节点维护一个区间，且为父亲节点的区间二等分后的其中一个子区间。
二. 基于线段树的RMQ操作（根据维护的信息不同，线段树还可以实现其他功能）
- 给定s和t，求a[s]~a[t]的最值
- 给定i和x，将a[i]的值修改为x
三. 基于线段树的查询
例如查询区间的最小值
即使查询的是一个比较大的区间，由于较靠上的节点对应较大的区间，通过这些区间就可以知道大部分值中的最小值，从而可以访问较少的节点来求得最小值
- 如果所查询的区间和当前区间完全没有交集，那么久返回一个不影响答案的值(如求解最小值是返回INF)
- 如果所查询的区间完全包含了当前节点所对应的区间，那么久返回当前节点的值(例如求解区间[1,7]时，查询到的[1,4]区间的值可以直接返回）
- 以上两种都不符合，就对两个儿子递归处理，返回两个结果中的较小者
1 int n, dat[2 * maxn - 1]; 2 3 void init(int n_) { 4 // 为了简单起见，把元素个数扩大到2的幂次 5 n = 1; 6 while (n < n_) { 7 n *= 2; 8 } 9 for (int i = 0; i < 2 * n - 1; i++) { 10 dat[i] = INF; 11 } 12 } 13 14 // 把第k个值(0 ~ indexed)更新为a 15 void update(int k, int a) { 16 // 叶子节点 17 k += n - 1; 18 dat[k] = a; 19 // 向上更新 20 while (k > 0) { 21 k = (k - 1) / 2; 22 dat[k] = min(dat[k * 2 + 1], dat[k * 2 + 2]); 23 } 24 } 25 26 // 求[a, b]的最小值 27 // 后面的参数时为了方便计算而传入的 28 // k是节点的编号，l, r表示这个节点对应的是[l, r) 左开右闭 29 // 在外部调用时， 用(a, b, k, l, r) 30 31 int query(int a, int b, int k, int l, int r) { 32 //如果[a, b]和[l, r]不相交，则返回一个特殊值 33 if (r <= a || b <= l) return INF; 34 35 //如果[a, b)完全包含[l, r), 则返回当前节点的值 36 if (a <= l && r <= b) return dat[k]; 37 else { 38 int vl = query(a, b, k * 2 + 1, l, (l + r) / 2); 39 int vr = query(a, b, k * 2 + 2, (l + r) / 2, r); 40 return min(vl, vr); 41 } 42 }
典型的区间查询（最大值）和单点修改
挑战版
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 #include <queue> 6 #include <vector> 7 #define INF 0x3f3f3f3f 8 #define mod 1000000007 9 typedef long long LL; 10 using namespace std; 11 12 const int maxn = 200000 + 5; 13 int n_, m, da[maxn * 4]; 14 int n; 15 char op; 16 17 void init() { 18 n = 1; 19 while (n < n_) { 20 n *= 2; 21 } 22 memset(da, -INF, sizeof(da)); 23 } 24 25 void update(int k, int val) { 26 k += n - 2; 27 da[k] = val; 28 while (k > 0) { 29 k = (k - 1) / 2; 30 da[k] = max(da[k * 2 + 1], da[k * 2 + 2]); 31 } 32 } 33 34 int query(int a, int b, int cur, int l, int r) { 35 if (r <= a || b <= l) return -INF; 36 if (a <= l && r <= b) { 37 return da[cur]; 38 } else { 39 int vl = query(a, b, cur * 2 + 1, l, (l + r) / 2); 40 int vr = query(a, b, cur * 2 + 2, (l + r) / 2, r); 41 return max(vl, vr); 42 } 43 } 44 45 int main(int argc, const char * argv[]) { 46 while (~scanf("%d%d", &n_, &m)) { 47 init(); 48 int x; 49 for (int i = 1; i <= n_; i++) { 50 scanf("%d", &x); 51 update(i, x); 52 } 53 while (m--) { 54 scanf(" %c", &op); 55 if (op == 'Q') { 56 int ql, qr; 57 scanf("%d%d", &ql, &qr); 58 printf("%d ", query(ql - 1, qr, 0, 0, n)); 59 } else { 60 int node, val; 61 scanf("%d%d", &node, &val); 62 update(node, val); 63 } 64 } 65 } 66 return 0; 67 }
将查询区间开为全局变量，增加建树函数
998ms
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #define INF 0x3f3f3f3f 4 #define max(x, y) (x > y ? x : y) 5 typedef long long LL; 6 using namespace std; 7 8 const int maxn = 200000 + 5; 9 int n_, m, da[maxn * 4]; 10 int n, ql, qr; 11 char op; 12 13 void init() { 14 n = 1; 15 while (n < n_) { 16 n *= 2; 17 } 18 memset(da, -INF, sizeof(da)); 19 } 20 21 void update(int k, int val) { 22 k += n - 2; 23 da[k] = val; 24 while (k > 0) { 25 k = (k - 1) / 2; 26 da[k] = max(da[k * 2 + 1], da[k * 2 + 2]); 27 } 28 } 29 30 void build() { 31 int k = n_ + n - 2; 32 k = (k - 1) / 2; 33 while (k >= 0) { 34 da[k] = max(da[k * 2 + 1], da[k * 2 + 2]); 35 k--; 36 } 37 } 38 39 int query(int cur, int l, int r) { 40 if (r <= ql || qr <= l) return -INF; 41 if (ql <= l && r <= qr) { 42 return da[cur]; 43 } else { 44 int vl = query(cur * 2 + 1, l, (l + r) / 2); 45 int vr = query(cur * 2 + 2, (l + r) / 2, r); 46 return max(vl, vr); 47 } 48 } 49 50 int main(int argc, const char * argv[]) { 51 while (~scanf("%d%d", &n_, &m)) { 52 init(); 53 for (int i = 1; i <= n_; i++) { 54 scanf("%d", &da[i + n - 2]); 55 } 56 build(); 57 while (m--) { 58 scanf(" %c", &op); 59 if (op == 'Q') { 60 scanf("%d%d", &ql, &qr); 61 ql--; 62 printf("%d ", query(0, 0, n)); 63 } else { 64 int node, val; 65 scanf("%d%d", &node, &val); 66 update(node, val); 67 } 68 } 69 } 70 return 0; 71 }
刘汝佳版的线段树模板。有别于挑战中，此处节点下标从1开始，查询的区间左右皆为闭区间，更新值的时候使用了递归，需要调用栈
刚学会，写的比较蠢，1357ms
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 #include <queue> 6 #include <vector> 7 #define INF 0x3f3f3f3f 8 #define mod 1000000007 9 typedef long long LL; 10 using namespace std; 11 12 const int maxn = 200000 + 5; 13 int val[4 * maxn]; 14 15 int ql, qr, p, v; 16 char op; 17 18 int n, m; 19 20 struct Interval { 21 22 void update(int o, int L, int R) { 23 int M = (L + R) / 2; 24 if (L == R) { 25 val[o] = v; 26 } else { 27 if (p <= M) { 28 update(o * 2, L, M); 29 } else { 30 update(o * 2 + 1, M + 1, R); 31 } 32 val[o] = max(val[o * 2], val[o * 2 + 1]); 33 } 34 } 35 36 int query(int o, int L, int R) { 37 int M = (L + R) / 2; 38 int ans = -INF; 39 if (ql <= L && R <= qr) { 40 return val[o]; 41 } 42 if (ql <= M) { 43 ans = max(ans, query(o * 2, L, M)); 44 } 45 if (M < qr) { 46 ans = max(ans, query(o * 2 + 1, M + 1, R)); 47 } 48 return ans; 49 } 50 51 }; 52 53 Interval tree; 54 55 int main(int argc, const char * argv[]) { 56 while (~scanf("%d%d", &n, &m)) { 57 memset(val, 0, sizeof(val)); 58 memset(&tree, 0, sizeof(tree)); 59 for (int i = 1; i <= n; i++) { 60 p = i; 61 scanf("%d", &v); 62 tree.update(1, 1, n); 63 } 64 while (m--) { 65 scanf(" %c", &op); 66 if (op == 'Q') { 67 scanf("%d%d", &ql, &qr); 68 printf("%d ", tree.query(1, 1, n)); 69 } else { 70 scanf("%d%d", &p, &v); 71 tree.update(1, 1, n); 72 } 73 } 74 } 75 return 0; 76 }
HDU 2795 线段树单点
POJ 2828 线段树单点修改