字符串小结（持续更新）

只是给忘记模板时的我看的

AC自动机

大概流程

首先对所有模式串建出 $Trie$ 树，并标记。

$fail$ 的定义：设 $i$ 节点所代表的字符串为 $S$，则 $fai{l}_i$ 表示 $S$ 的所有后缀里面，在 $Trie$ 树中出现过的最长的那个串所代表的节点。

然后通过 $\text{bfs}$ 求出 $fail$，代码如下：

void getfail()
{
	queue<int>q;
	for(int i=0;i<26;i++)
		if(t[0].ch[i])
			q.push(t[0].ch[i]);
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=0;i<26;i++)
		{
			if(t[u].ch[i])
			{
				t[t[u].ch[i]].fail=t[t[u].fail].ch[i];
				q.push(t[u].ch[i]);
			}
			else t[u].ch[i]=t[t[u].fail].ch[i];//tag1
		}
	}
}

其中为什么 $ta{g}_1$ 处可以将 $u$ 的儿子直接指向 $fai{l}_u$ 的儿子 $v$：

首先实际的操作应该是新建一个虚拟节点 $new$，使 $new$ 为 $u$ 的儿子，且 $fai{l}_{new}=v$。

又由于 $new$ 本身是新建的节点，没有任何儿子，所以 $new$ 的儿子全都是要靠新建虚拟节点构成。

所以 $new$ 的子树其实和 $v$ 的子树是一模一样的。

那我们不妨用同一棵子树表示他们，也就是说让 $u$ 的儿子指向 $v$ 而不是新建节点。

然后由于 $new$ 树的 $fail$ 全部都是指向 $v$ 树的，所以合并到一起不会对 $fail$ 产生影响。

那么 $\mathrm{getfail}()$ 之后原来的 $Trie$ 树就会变成一个 DAG 了。

实际应用

一、模式串与文本串匹配上的应用

原理

首先通过递归 $fail$，就可以遍历某个串的所有在模式串中出现过的后缀。

同样，如果建立 $fail$ 树（$fai{l}_i\to i$），就可以通过遍历某一个点 $u$ 的子树（设 $u$ 所代表的串为 $s$），遍历所有以 $s$ 为后缀的串。（也就是往 $s$ 的前面加字符）

其次，对于原 $Trie$ 树中的某一个节点 $u$（设其代表的串为 $s$），可以遍历统计 $u$ 子树内的所有点，遍历所有以 $s$ 为前缀的串。（也就是往 $u$ 后面加字符）

那么综合上面两个操作，对于某个串 $t$，我们可以求出所有满足 $t$ 是 $s$ 的子串的 $s$ 串的信息。

时间复杂度为 $O(n)$（遍历一遍 $Trie$ 树+一遍 $fail$ 树）。

所以对于解决模式串类的问题，AC 自动机的本质就是对于每一种字符串，除了记录在它后面加字符能到达的出现过的串（$Trie$ 树），还记录了在它前面加字符能到达的出现过的串（$fail$ 树）。

那么对于 $s$ 串的子串信息，我们可以对 $s$ 的前缀跳 $fail$ 链。而对于 $t$ 串的扩展串信息（$t$ 是某个串的子串），我们可以在 $fail$ 树中遍历 $t$ 树的子树，再在 $Trie$ 树中遍历 遍历到的点 的子树。

例题

1.请你分别求出每个模式串 $T_i$ 在文本串 $S$ 中出现的次数。

可以直接按我们刚刚的做法来做（跳 $S$ 前缀的 $fail$ 链），但是会 T 飞。

考虑优化，把根到 $S$ 路径上的节点都标记（设为 $size=1$），然后建立 $fail$ 树（$fai{l}_i\to i$），设 $siz{e}_i$ 为 $i$ 这个节点所代表的字符串在 $S$ 中出现的次数。

那么在 $fail$ 树中，$i$ 的子树中的所有有效节点都能为 $siz{e}_i$ 贡献 $1$。所以把每一个有效节点 $size$ 的初始值都设为 $1$ 然后在 $fail$ 树上从下往上统计 $size$。

#include<bits/stdc++.h>

#define N 200010
#define ll long long

using namespace std;

struct Trie
{
	int ch[26],fail;
	ll size;
}t[N];

int n,node,id[N];
int cnt,head[N],nxt[N],to[N];

void adde(int u,int v)
{
	to[++cnt]=v;
	nxt[cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
}

int insert(string s)
{
	int u=0,len=s.size();
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		int v=s[i]-'a';
		if(!t[u].ch[v]) t[u].ch[v]=++node;
		u=t[u].ch[v];
	}
	return u;
}

void dfsTrie(string s)
{
	int u=0,len=s.size();
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		int v=s[i]-'a';
		u=t[u].ch[v];
		t[u].size++;
	}
}

void getfail()
{
	queue<int>q;
	for(int i=0;i<26;i++)
		if(t[0].ch[i])
			q.push(t[0].ch[i]);
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=0;i<26;i++)
		{
			if(t[u].ch[i])
			{
				t[t[u].ch[i]].fail=t[t[u].fail].ch[i];
				q.push(t[u].ch[i]);
			}
			else t[u].ch[i]=t[t[u].fail].ch[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=node;i++)
		adde(t[i].fail,i);
}

void dfsFail(int u)
{
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
	{
		int v=to[i];
		dfsFail(v);
		t[u].size+=t[v].size;
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		string str;
		cin>>str;
		id[i]=insert(str);
	}
	getfail();
	string s;
	cin>>s;
	dfsTrie(s);
	dfsFail(0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%lld
",t[id[i]].size);
	return 0;
}
/*
3
abc
cde
de
abcde
*/

2.https://blog.csdn.net/ez_lcw/article/details/99613063