1. 母函数
1.1 母函数的定义
计数问题的结果一般可以表示为自然数集上的函数(f(n))，比如组合数(inom{n}{k})可以看成是关于(k)的函数。孤立的通项公式很难发现数值之间的内在联系，从而丢失了结果的整体性。本节介绍一下欧拉提出的母函数思想，它是计数问题的一个基本工具。
你一定知道组合数(inom{n}{k})其实是二项式((1+x)^n)的系数，换个角度想就是多项式((1+x)^n)中包含了整个数列({inom{n}{k}})。利用单个对象来表示多个离散的对象，即方便了表示，也保留了离散对象的整体性，这对讨论想必是有好处的。为此对数列({a_n})，称幂级数（1）为其母函数（gernerating function）。
[g(x)=sum_{k=0}^{infty}a_kx^k=a_0+a_1x+a_2x^2+cdots ag{1}]
这里并不要求幂级数收敛，我们只需把它当成是一种代数定义。和普通多项式一样，可以在上面定义类似的相等、加法、数乘、乘法（不考虑它们的现实意义），可以证明这样的代数构成了一个整环。在抽象代数中已经证明了，多项式有逆的充要条件是(a_0 e 0)。比如常用的(1+x+x^2+cdots=dfrac{1}{1-x})，其中(1-x)就是前者的逆。
这里例子让我们想起了泰勒展开式，应该怎样看待一个初等函数与它的泰勒级数之间的关系？这些初等函数（比如(dfrac{1}{1-x})）并不属于代数系统，但却可以作为对应幂级数的“缩写”形式存在。对于这些初等函数在复数域函数上的运算结果，它的幂级数是否与原代数系统的相同？多项式整环中的运算是兼容复数域多项式的，所以这两者可以看成是等价的，因此在使用时，大可放心地使用幂级数和初等函数。而这一点也为问题解决带来了便捷，正是母函数思想的威力所在。
1.2 母函数的应用
母函数除了作为一个形式表示，还能有做什么？代数系统中为什么要讨论加法、乘法？加法的意义不言而喻，一个计数问题被分为多个个独立的情况，在求得每个情况的母函数后，整个问题的母函数自然就是母函数之和。这其实就是大家在高中熟悉的加法原理，只不过母函数中包含了所有(n)的值。
还有一个就是所谓乘法原理：一个计数问题被分为多个步骤，每步的个数相乘便是整个计数值。乘法原理也可以用母函数表示，母函数相等后展开，其中的每一项就体现了乘法原理，当然合并同类项时就是加法原理。你可能已经发现，母函数乘法其实就是在帮你“自动”完成计数的“穷举法”，相比较技巧性强的方法，母函数更具一般性。
当然母函数也有应用场景的限制，问题的条件往往是多个变量的和为定值(N)，而项(a_kx^k)表示变量取值(k)时有(a_k)种方法，母函数相乘后取项(x^N)的系数便是计数值。还拿二项式(inom{n}{k})为例，它表示从(n)个互异对象中选出(k)的个数。这里的变量就是每个对象被取的次数（只能是(0,1)，母函数为(1+x)），条件是变量和为(k)。整个母函数是((1+x)^n)，其中(x^k)的系数便是(inom{n}{k})。
值得注意的是((1+x)^n)中包含了所有(k=0,1,cdots,n)的所有值，它们被做为一个整体保存了下了，之间的关系也更便于讨论（下一篇阐述）。关于母函数在计数问题中的应用，我们将在下一篇中有更多的例子，这里先就此打住。
• 求证：边长为正整数周长为(k)的三角形个数的母函数为(T(x)=x^3(1-x)^{-1}(1-x^3)^{-1}(1-x^4)^{-1})。（提示：排序和差值）
2. 递推关系
2.1 递推关系的定义
有时候数列是以递推关系表达的，或者计数问题本身就适合用递推求解（比如经典的斐波那契数列(f(n+2)=f(n+1)+f(n))），现在我们需要把递推式转化为显式表达式、或者表示出母函数。先来看定义，式（2）的所示的关系叫(r)阶递推关系，显然数列({a_n})由它的前(r)项唯一确定，这(r)项也称递推关系的初始条件。需要提醒的是，(r)阶的意思是(a_n)最多和(r)个前序数列相关，但并不一定每一项都与(r)个前序数列相关。反之，如果递推式不存在这样的有限整数(r)，它被称为无穷阶递推关系。
[a_n=F(a_{n-1},cdots,a_{n-r},n) ag{2}]
举个简单的例子，大家都熟悉古老的汉诺塔（hanoi）游戏，把(n)个圆盘按从大到小的顺序放在一根柱子上，要求保持上小下大的关系将圆盘全部移到另一根柱子上。经过分析，最小的移动步骤是这样的：先设法将上面(n-1)个移动到第二根柱子，再将最大的盘移到第三根柱子，最后将那(n-1)个圆盘也移到第三根柱子。这个过程显然有递推式(f(n)=2f(n-1)+1)，求解就很简单了。得到递推关系也许并不是一件容易的事，但这里我们不关心这一步，假定已经获得了递推式表达式，注意力集中在求解上。
2.2 线性递推关系
递推关系式千变万化，不可能有统一的解法，具体问题需要具体分析，大部分形式都不一定能求解。这里我们只研究几种常见递推式，并试图寻找各自一般的解法。首先比较简单的是一阶阶线性递推关系（3），为了消除首项系数，设(prodlimits_{k=0}^na(k)=A(n))，并设(u'_n=dfrac{u_n}{A(n)})，则有(u'_n=u'_{n-1}+b(n)/A(n))。(u'_n)比较容易求得，最后得到(u_n)，这里就不展开了。特别地，当(a(n),b(n))为常数时，可以得到(u_n)通项式（4），汉诺塔问题便可求解。
[u_n=a(n)u_{n-1}+b(n) ag{3}]
[u_n=au_{n-1}+b;Rightarrow ;u_n=dfrac{1-a^n}{1-a}b+a^nu_0 ag{4}]
当线性递推关系上升到(r)时，情况变得复杂，我们不妨从最简单的齐次线性常系数递推关系（式（5））看起。将递推关系的每个表达式按列写成矩阵（6），观察矩阵的每一行，它们含有完整的数列（除开始有限项）。这就启发我们把数列当整体看待，自然想到用母函数(U(x)=sumlimits_{k=0}^{infty}u_kx^k)，为方便讨论，这里先假设(u(x))有正的收敛域，后面得到表达式再回头验证。
[u_n=sum_{i=1}^rc_iu_{n-i} ag{5}]
[egin{matrix}u_r&u_{r+1}&cdots&u_n&cdots\c_1u_{r-1}&c_1u_r&cdots&c_1u_{n-1}&cdots\c_2u_{r-2}&c_2u_{r-1}&cdots&c_2u_{n-2}&cdots\vdots&vdots&ddots&vdots&cdots\c_ru_0&c_ru_1&cdots&c_ru_{n-r}&cdotsend{matrix} ag{6}]
因为第一行的母函数是其它行之和，综合考察每行母函数与(U(x))的差别，不难得到(U(x)=U(x)sumlimits_{k=1}^rc_kx^k+h(x))，从而有式（7）。记(c(x))为式（8），其中(alpha_k)是(c(x))的互异复根，它被称为递推式（5）的特征多项式。则易知式（7）的分母为((1-alpha_1x)^{e_1}cdots(1-alpha_sx)^{e_s})，利用有理分式的知识可知，式（7）可以拆分为若干项(dfrac{eta_{ij}}{(1-alpha_ix)^j})之和（(eta_{ij})为常数）。再利用((1-alpha x)^{-k})的泰勒展开式(suminom{n+k-1}{k-1}alpha^kx^k)，容易知道(x^n)项的系数为(sumlimits_{k=1}^sp_k(n)alpha_k^n)，其中(p_k(x))阶为(e_k-1)。
[U(x)=dfrac{h(x)}{1-c_1x-cdots-c_rx^r},; ext{deg}\,(h(x))<r ag{7}]
[c(x)=x^r-c_1x^{r-1}-cdots-c_r=(x-alpha_1)^{e_1}cdots(x-alpha_s)^{e_s} ag{8}]
这其实就得到了(u_n)的表达式（9），每个(p_k(n))含有(e_k)个待定系数，总共正好有(r)个待定数，而它们可以有(r)个初始条件确定。斐波那契数列的递推式(f(n)=f(n-1)+f(n-2))就是典型的齐次递推关系，它的特征方程是(x^2-x-1)，两个根为(alpha_{1,2}=(1pmsqrt{5})/2)，将(f(0)=f(1)=1)带入(f(n)=p_1alpha_1+p_2alpha_2)便得到斐波那契数列的通项公式（10）。
[u_n=p_1(n)alpha_1^n+p_2(n)alpha_2^n+cdots+p_s(n)alpha_s^n,; ext{deg}\,(p_k(x))=e^k-1 ag{9}]
[f(n)=f(n-1)+f(n-2),\,f(0)=f(1)=1;Rightarrow;f(n)=dfrac{1}{sqrt{5}}(alpha_1^{n+1}+alpha_2^{n+1}) ag{10}]
再来看线性常系数递推关系式（11），在给定初始条件时，它也有唯一解(u_n)。对于这样的问题，先忽略初始条件说不定可以降低一些难度，针对递推式（11）的特点，说不定可以“目测”出一个解(u'_n)。注意到(u_n-u'_n)满足齐次递推式（5），故它们的解正好相差一个式（5）的解（两个初始条件的差作为式（5）的初始条件）。某个初始条件下式（11）的解(u')被称为特解，它的通解则是式（12）。
[u_n=sum_{i=1}^rc_iu_{n-i}+g(n) ag{11}]
[u_n=u'_n+sum_{k=1}^sp_k(n)alpha_k ag{12}]
2.3 卷积递推关系
最后来看一个虽然复杂但却极为常用的递推关系，先来看一个问题：将(n)个(()和(n)个())排列开来，有多少中排法使得序列有意义？有意义是指：（1）一对括号(())是有意义的；（2）如果序列(A,B)有意义，那么(AB)和((A))也有意义。记有意义的排列数为(C_n)，其中(C_0=C_1=1)。第一个显然是(()，先找到和它配对的())，则序列可以表示为((A)B)。要使得排列有意义，必须(A,B)都有意义，故容易有递推式（13）。
[C_n=C_0C_{n-1}+C_1C_{n-2}+cdots+C_{n-1}C_0,;;C_0=C_1=1 ag{13}]
满足递推关系（13）的数列被称为卡特兰（Catalan）数列，这个递归关系会出现在许多问题中，这里再列举几个例子，推导思路非常相似（二分和递归），这里就不赘述了。
（1）乘法组合问题。对于乘法(x_0x_1cdots x_n)，添加括号使其形成不同的乘法顺序。
（2）进出栈序列。(n)个数依次进栈，中途可以有数出栈，求进、出栈序列的个数。
（3）找钱问题。(n)个人拿5元、(n)个人拿10元排队买5元的东西，如何排队使得不需要提前准备零钱。
（4）数列个数问题：正整数列(a_1leqslant a_2leqslantcdotsleqslant a_n)，其中(a_kleqslant k)。
（5）凸多边形的三角形分割。(n+2)边凸多变形可以被(n-1)条不交叉的对角线分成(n)个三角形，讨论某一条边被划分的情况。
（6）Dyck路计数。从格点((0,0))走到((2n,0))，每步只能走向右上或右下方向最近的格点，且不能到达(x)轴下方。
对于和式(S=sumlimits_{k=0}^nx^ky^{n-k})，在数学中非常常见，比如说级数相乘的柯西乘积。(S)往往被称为向量((x_0,x_1cdots,x_n))和((y_0,y_1cdots,y_n))的卷积（Convolution，或柯西乘积），它是向量乘积的一种定义。回顾级数的柯西乘积，我们觉得这里用母函数处理也许会比较好。为此设卡特兰数列的母函数为(C(x))，还是先假定它有正收敛域。
利用级数的柯西乘积，容易有(C(x)C(x)=(C(x)-1)/x)，解得(C(x)=dfrac{1pmsqrt{1-4x}}{2x})。展开(C(x))的幂级数，并根据数列为正可得到卡特兰数列（14）。
[C_n=dfrac{1}{n+1}inom{2n}{n} ag{14}]
上面两个例子充分展示了母函数在求解递推关系中的威力，观察递推关系的特点，列出母函数的方程，便可以很快得到母函数，更甚者可以得到数列通项。请尝试解决以下二元递推关系：
• (left{egin{matrix}a_{n+1}-a_n+b_n=n\a_n+2b_{n+1}-b_n=2end{matrix} ight.)，已知(a_0,b_0)。