概述
线段树，类似区间树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(logn)O(logn)。
(0) 定义
1 const int INF = 0x3f3f3f3f; 2 const int MAXN = 50010; 3 int a[MAXN],ans[MAXN<<2],lazy[MAXN<<2]; 4 // a[]为原序列信息,ans[]模拟线段树维护区间和,lazy[]为懒惰标记 5 int mx[MAXN<<2],mn[MAXN<<2]; 6 // mx[]区间最大值 mn[]区间最小值
(1) 更新结点信息
1 void PushUp(int rt) 2 { 3 ans[rt] = ans[rt<<1] + ans[rt<<1|1]; // 区间和 4 mx[rt] = max(mx[rt<<1],mx[rt<<1|1]); // 区间最大值 5 mn[rt] = min(mn[rt<<1],mn[rt<<1|1]); // 区间最小值 6 }
(2) 建树
1 void Build(int l,int r,int rt) 2 { 3 if(l == r) 4 { 5 mx[rt] = mn[rt] = ans[rt] = a[l]; 6 return ; 7 } 8 int mid = (l+r)>>1; 9 Build(l,mid,rt<<1); 10 Build(mid+1,r,rt<<1|1); 11 PushUp(rt); 12 }
(3) 下推懒惰标记
1 void PushDown(int rt,int ln,int rn) 2 // ln表示左子树元素结点个数,rn表示右子树结点个数 3 { 4 if(lazy[rt]) 5 { 6 lazy[rt<<1] += lazy[rt]; 7 lazy[rt<<1|1] += lazy[rt]; 8 ans[rt<<1] += lazy[rt]*ln; 9 ans[rt<<1|1] += lazy[rt]*rn; 10 mx[rt<<1] += lazy[rt]; 11 mx[rt<<1|1] += lazy[rt]; 12 mn[rt<<1] += lazy[rt]; 13 mn[rt<<1|1] += lazy[rt]; 14 lazy[rt] = 0; 15 } 16 }
(4) 点更新
1 void Add(int L,int C,int l,int r,int rt) 2 { 3 if(l == r) 4 { 5 ans[rt] += C; 6 return ; 7 } 8 int mid = (l+r) >> 1; 9 PushDown(rt,mid-l+1,r-mid); // 若既有点更新又有区间更新，需要这句话 10 // 什么叫既有点更新又有区间更新？？？ 11 if(L <= mid) 12 Add(L,C,l,mid,rt<<1); 13 else 14 Add(L,C,mid+1,r,rt<<1|1); 15 PushUp(rt); 16 }
(5) 区间更新
1 void Update(int L,int R,int C,int l,int r,int rt) 2 { 3 if(L <= l && r <= R) 4 { 5 ans[rt] += C*(r-l+1); 6 mx[rt] += C; 7 mn[rt] += C; 8 lazy[rt] += C; 9 return ; 10 } 11 int mid = (l+r)>>1; 12 PushDown(rt,mid-l+1,r-mid); 13 if(L <= mid) 14 Update(L,R,C,l,mid,rt<<1); 15 if(R > mid) 16 Update(L,R,C,mid+1,r,rt<<1|1); 17 PushUp(rt); 18 }
(6) 区间查询
1 ll Query(int L,int R,int l,int r,int rt) 2 { 3 if(L <= l && r <= R) 4 { 5 // return mx[rt]; 6 // return mn[rt]; 7 return ans[rt]; 8 } 9 int mid = (l+r)>>1; 10 PushDown(rt,mid-l+1,r-mid); // 若更新只有点更新,不需要这句 11 ll ANS = 0; 12 // ll MAX = 0; 13 // ll MIN = INF; 14 if(L <= mid) 15 { 16 ANS += Query(L,R,l,mid,rt<<1); 17 // MAX = max(Query(L,R,l,mid,rt<<1),MAX); 18 // MIN = min(Query(L,R,l,mid,rt<<1),MIN); 19 } 20 if(R > mid) 21 { 22 ANS += Query(L,R,mid+1,r,rt<<1|1); 23 // MAX = max(Query(L,R,mid+1,r,rt<<1|1),MAX); 24 // MIN = min(Query(L,R,mid+1,r,rt<<1|1),MIN); 25 } 26 // return MAX; 27 // return MIN; 28 return ANS; 29 }
(7) 调用函数
建树
Build(1,n,1);Build(1,n,1);
点更新
Add(L,C,1,n,1);Add(L,C,1,n,1);
区间修改
Update(L,R,C,1,n,1);Update(L,R,C,1,n,1);
区间查询
llll ANS=Query(L,R,1,n,1);ANS=Query(L,R,1,n,1);
若只涉及点更新 只需用(1)(2)(4)(6)
若只涉及区间更新 需用(1)(2)(3)(5)(6)
若两种更新都有 则在所有向子区间查询或更新前 都需PushDown()