SDOI2010 地精部落

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Description

求长度为 (N) 的排列，满足对于每一个数，要么两边都比他高，要么两边都比他低的的方案数，对 (P) 取模。

Solution

是 AcWing 309. 装饰围栏 的弱化版。

考虑用 (n - 1) 长度的序列，在右边填上一个数，推导至长度为 (n)，相当于长度集合的变化，DP：

状态设定

设 (f_{i, j, p}) 为长度为 (i)，最右边的数的排名为 (j) 的方案数，(p = 0 / 1) 表示最右边这个数是山峰还是山谷。

状态转移

• 考虑最右边的数是山峰：(f_{i,j,1} gets sum_{k=1}^{j-1} f_{i - 1, k, 0})

• 考虑最右边的是山谷，同理：(f_{i, j, 0} gets sum_{k=j}^{i - 1} f_{i-1, k, 1})

转移也可以理解为一个排列的映射：相当于将前 (i - 1) 个序列中数值在 ([j, i - 1]) 的数都 (+1)，值域成为 ([j + 1, i])，我们又新填入了一个数 (j)，所以是一个 (1) ~ (i) 的排列

时空复杂度

时间：注意到这是一个区间和形式，用前缀和优化每次转移 (O(1))，所以总复杂度 (O(N^2))。

空间：这题空间会炸，要开滚动数组。

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 4205;

int n, P, f[2][N][2];

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &P);
	f[1][1][1] = f[1][1][0] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= i; j++) {
			f[i & 1][j][0] = ((LL)f[(i - 1) & 1][i - 1][1] - f[(i - 1) & 1][j - 1][1] + f[i & 1][j - 1][0] + P) % P;
			f[i & 1][j][1] = (f[(i - 1) & 1][j - 1][0] + f[i & 1][j - 1][1]) % P;
		}
	}
	printf("%d
", (f[n & 1][n][0] + f[n & 1][n][1]) % P);
	return 0;
}