题解【CF1328F Make k Equal】

[ exttt{Description} ]

给一个 (n) 和 (k) ，以及长度为 (n) 的序列 (a) 。

有两种操作：

• 让数组中其中一个最小值的值加一。
• 让数组中其中一个最大值的值减一。

问：最少几次操作，可以使得数组中至少有 (k) 个数相等。

[ exttt{Solution} ]

• 首先有一个非常非常非常显然的结论：

定存在最优解，满足最后相等的 (k) 个数的值，为 (a) 中出现过的值。

• 为了方便做题，我们将序列 (a) 打包成若干个二元组 ((num,cnt)) ，表示值为 (num) 的数在 (a) 中有 (cnt) 个。

• 此时我们注意到：对于任意数 (x) ，若想通过【最小数加一】这个操作使得小于 (x) 的数变成 (x) ，必须要使得所有小于 (x) 的所有数先变成 (x-1) ，再进行一次该操作，才能使得一个小于 (x) 的数变成 (x) 。

• 【最大数减一】同理。

• 于是，我们处理出 " 将小于 (num[i]) 的所有数都变成 (num[i]-1) 的最少步数 " 和 " 将大于 (num[i]) 的所有数都变成 (num[i]+1) 的最少步数 " ，分别记作 (pre[i]) 和 (suf[i]) ，处理出 " 小于 (num[i]) 的数的个数 " 和 " 大于 (num[i]) 的数的个数 " ，分别记作 (pcnt[i]) 和 (scnt[i]) 。

• 接下来，枚举每一个 (num[i]) ，计算 (num[i]) 作为最后相等的 (k) 个数的值情况下的最少步数，取一个最小值即可求出答案。

• 不妨记 (res=k-cnt[i]) 。

• 首先，若有 (res leq 0) ，则说明原数组已经有至少 (k) 个数相等了。

• 否则我们还需要凑够 (res) 个 (num[i]) ，才可以使得该情况下有 (k) 个 (num[i]) ，对于每个 (num[i]) ，有三种情况：

1. 用【最小数加一】和【最大数减一】两个操作使得有 (k) 个 (num[i]) 相等，此时最少步数就是 (pre[i]+suf[i]+res)。
2. 用【最小数加一】操作使得有 (k) 个 (num[i]) 相等，若 (pcnt[i]geq res) ，此时最少步数就是 (pre[i]+res) 。
3. 用【最大数减一】操作使得有 (k) 个 (num[i]) 相等，若 (scnt[i]geq res) ，此时最少步数就是 (suf[i]+res) 。

• 分情况讨论一下即可。
• (mathcal{O(n log n)}) ，评测链接 。

[ exttt{Code} ]

#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

namespace IO
{
    static char buf[1<<20],*fs,*ft;
    inline char gc()
    {
        if(fs==ft)
        {
			ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin);
			if(fs==ft)return EOF;
        }
        return *fs++;
    }
    #define gc() getchar()
	inline int read()
	{
		int x=0,f=1;char s=gc();
		while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-f;s=gc();}
		while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=gc();}
		return x*f;
	}
}using IO::read;

const int N=200100;

int n,k;

int a[N];

int m,num[N],cnt[N];

long long pre[N],suf[N];
long long pcnt[N],scnt[N];

long long ans=1e18;

int main()
{
	n=read(),k=read();

	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read();

	sort(a+1,a+1+n); 

	int S=0;

	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		S++;
		if(a[i]!=a[i+1])
		{
			m++;
			num[m]=a[i],cnt[m]=S;
			S=0;
		}
	}

	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		pre[i]=pre[i-1]+pcnt[i-1]*(num[i]-num[i-1])+cnt[i-1]*(num[i]-num[i-1]-1);
		pcnt[i]=pcnt[i-1]+cnt[i-1];
	}

	for(int i=m-1;i>=1;i--)
	{
		suf[i]=suf[i+1]+scnt[i+1]*(num[i+1]-num[i])+cnt[i+1]*(num[i+1]-num[i]-1);
		scnt[i]=scnt[i+1]+cnt[i+1];
	}

	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int res=k-cnt[i];

		if(res<=0)
		{
			puts("0");
			return 0;
		}

		if(i>1&&i<m)
			ans=min(ans,pre[i]+suf[i]+res);

		if(i>1&&pcnt[i]>=res)
			ans=min(ans,pre[i]+res);

		if(i<m&&scnt[i]>=res)
			ans=min(ans,suf[i]+res);
	}

	printf("%lld
",ans);

	return 0;
}

[ exttt{Thanks} exttt{for} exttt{watching} ]