第八章 刚体基本运动

第八章 刚体基本运动

教学目标

1 明确刚体平动和刚体定轴转动的特征。能正确地判断作平动的刚体和定轴转动的刚体。

2 对刚体定轴转动时的转动方程、角速度和角加速度及它们之间的关系要有清晰的理解。熟知匀速和匀变速转动的定义和公式。

3 能熟练地计算定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。

4 掌握传动比的概念及其公式的应用。

5 对角速度矢、角加速度矢、以及用矢积表示刚体上一点的速度与加速度有初步的了解。

本章重点

刚体平动及其运动特征

刚体的定轴转动，转动方程、角速度和角加速度

定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。

本章难点

用矢积表示刚体上一点的速度与加速度。

教学过程

研究刚体运动时：首先要了解每种运动形式的特征，并研究整个刚体的描述方法，然后再研究刚体上各点的运动。

1. 刚体平动

   先看几个实例：

   实例1 汽车沿直线行驶时车身的运动；

   

   实例2 推拉窗户的运动；

   实例3 游乐车车厢的运动；

   

1. 定义：刚体运动时，其上任一直线始终与原位置平行。

1. 特征分析

   运动方程 是常矢量

   轨迹：形状相同

   速度：，

   加速度：，

   结论：研究刚体的平动，可归结为研究其上任一点的运动。

2. 平动分类

演示机构运动 、//，角不变并画出、、点的轨迹，以为圆心 为半径的圆

二．刚体定轴转动

实例分析

实例1 门绕其转动的轴转动

实例2 风车上的叶片绕其转轴转动

1. 定义：刚体运动时，其上有一直线始终保持不动，其余各点均作圆周运动。
2. 整体运动描述

位置确定：转角

转动方程：单值连续函数

角速度：

角加速度：

、均为代数量，其正﹑负号表示刚体的转向，从轴正向往负向看逆时针为正，顺时针为负。

开始平面与平面重合，然后刚体转动至图示位置，画出转角

特例：（1）若，常量，称为匀速转动，此时，是时的转角

（2）若常量，称为匀变速转动，此时，，、是时的转角和角速度

1. 转动刚体上各点运动分析

自然坐标法

运动方程：

速度：，指向如图所示。半径上各点速度分布如图

加速度：切向加速度，，指向如图所示

法向加速度 方向,,任一半径上各点加速度分布如图

1. 角速度﹑角加速度的矢量表示点的速度和加速度的矢量表示
2. 有限转动不是矢量，无限转动是矢量

   描述转动刚体位置的转角虽然有三个要素：转轴在空间的方位，转角的大小和转角的转动方向，但实践证明转角不能用矢量表示。如图所示

   原来位置

   先绕轴正向转90 后绕轴正向转90

   先绕轴正向转90 后绕轴正向绕90

   

   但无限转动可用矢量表示，即(证明略）

3. 角速度﹑角加速度的矢量表示，

角速度矢量的表示：方位沿转轴，大小等于角速度的绝对值，指向由右手定则定，它表示角速度的转向，如图

如以表示沿转轴的单位矢量，则式中为在转轴上的投影是代数量，角加速度为

即角加速度矢量也沿转轴，表示方法与类似，如图所示

1. 各点速度﹑加速度的矢量表示

在转轴上任取一点，向点引矢径如图

点的速度可表示为

证明： 的方向垂直于，确定的平面即垂直于转动半径，指向用右手定则判定，与自然法分析的分析的速度方向一致，所以式成立。

由第七章点的运动学知：

所以可得出

式表示了大小不变，只是方向变化的矢量的导数公式，由此，可得出泊桑公式：，，

其中，，是固连于转动刚体上的三个单位矢量。

将式对时间求一次导数，可得加速度公式，即

其中 切线加速度，法向加速度

例8.1荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示，钢索长为，长度单位为，当荡木摆动时，钢索的摆动规律为，其中以计，试求当和时荡木中点的速度，加速度

解

1. 运动分析：//，荡木作平动，点与点的运动相同
2. 研究钢索，当钢索拉紧时，就相当于刚性杆绕转轴转动

当时 ,

方向如图

当时 ,,

,

方向如图8.20

1. 齿轮传动是常见的轮系传动方式之一，可用来提高或降低转速，可用来改变转向。两齿轮外啮合时，其转向相反图(8.21)；而内啮合时，其转向相同（图）。设齿轮1和齿轮2的节圆半径分别为和，齿轮1的角速度和角加速度分别为，求齿轮的角速度和角加速度?

解 两齿轮啮合时，由于两节圆的接触点、间无相对滑动，故并且速度方向也相同，即，有

将式对时间求一次导数，

有

从式和，可得到齿轮2的角速度和角加速度

，

在机械工程中，常常把主动轮和从动轮的两个角速度的比值称为传动比，用附有角标的符号表示由齿轮的节圆半径、或齿轮的齿数、，齿轮在啮合圆上的齿距相等，它们的齿数与半径成反比），可表示为

几点说明：

1. 式的定义的传动比是两个角速度大小的比值，与转动方向无关，因此不仅适用于圆柱齿轮传动，也适用于传动轴成任意角度的圆锥齿轮传动﹑摩擦轮传动或不计厚度的皮带轮的传动。
2. 有时为了区分轮系中各轮的转向，对各轮都规定统一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而传动比也取代数值。

式中正号表示主动轮与从动轮转向相同（内啮合）如图8.21，负号表示转向相反（外啮合）如图

1. 减速箱由四个齿轮构成如图所示。齿轮Ⅱ和安装Ⅲ在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为，，。如主动轴Ⅰ的转速，试求从动轮Ⅳ的转速？

解：用、、和分别表示各齿轮的转速，于是有，应用上例中的式，有，

于是有

代入数值得（正值说明轮Ⅳ与轮Ⅰ转向相同）

从动轮Ⅳ的角速度为-

若级传动，有对外啮合齿轮，

则