一、定义转向算法
在第六节讲了空间，列空间，零空间的定义，这节主要讲解如何求出这些空间，即求解$Ax=0$的过程是怎么样的过程，以下面的矩阵$A$为例：（这里主要是长方阵）
$A=left[egin{array}{llll}{1} & {2} & {2} & {2} \ {2} & {4} & {6} & {8} \ {3} & {6} & {8} & {10}end{array} ight]$
仔细观察上面的矩阵就会发现行列之间的关系：第二列是第一列的2倍，第三行是前两行的和
1）消元：零空间不会变，因为方程解不变
第一阶段（找到第一个主元）：$left[egin{array}{llll}{1} & {2} & {2} & {2} \ {0} & {0} & {2} & {4} \ {0} & {0} & {2} & {4}end{array} ight]$
第二阶段（找第二个主元，发现是0，也无法通过后面的行交换来使得该位置不为0，我们就将0后面的2当作主元，继续对下面的行消元）
$left[egin{array}{llll}{1} & {2} & {2} & {2} \ {0} & {0} & {2} & {4} \ {0} & {0} & {0} & {0}end{array} ight]=U$
综上：我们已经找到了两个主元1和2，这里我们知道主元的数量是2，所以矩阵的秩就是2，矩阵的秩(rank)即为矩阵的主元数量
我们原本要求$Ax=0$，现在经过消元，方程解不变，现在只需要求$Ux=0$
2）主列和自由列
主元所在的列为主列（如第一列和第三列），另外的是自由列（如第二列和第四列），所谓自由列就是我们可以任意分配其对应的未知变量的系数，如$x_2=1, x_4=0$
$x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}=0$
$2 x_{3}+4 x_{4}=0$
则方程解为：$x=left[egin{array}{c}{-2} \ {1} \ {0} \ {0}end{array} ight]$
当然也存在下面的解：$x=Cleft[egin{array}{c}{-2} \ {1} \ {0} \ {0}end{array} ight]$
我们说过，自由列的存在使得我们可以为自由变量随意分配值，所以当然$x_2=0, x_4=1$也是可以的：
则方程解为：$x=left[egin{array}{c}{2} \ {0} \ {-2} \ {1}end{array} ight]$
当然也存在下面的解：$x=dleft[egin{array}{c}{2} \ {0} \ {-2} \ {1}end{array} ight]$
有了上面两个特定解，我们就可以求出所有x，即矩阵的零空间：$x=Cleft[egin{array}{c}{-2} \ {1} \ {0} \ {0}end{array} ight] + dleft[egin{array}{c}{2} \ {0} \ {-2} \ {1}end{array} ight]$
所以矩阵的零向量就是特定解的线性组合
零空间的求法：对矩阵A进行消元求得主变量和自由变量；给自由变量赋值得到特解；对特解进行线性组合得到零空间
3）简化U：下面我们将会简化U来得到R
简化的过程：从U出发，将主元上下全变为0，即$left[egin{array}{llll}{1} & {2} & {0} & {-2} \ {0} & {0} & {2} & {4} \ {0} & {0} & {0} & {0}end{array} ight]$，然后将主元变为1即得到简化行阶梯形式R
$left[egin{array}{cccc}{1} & {2} & {0} & {-2} \ {0} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {0} & {0} & {0}end{array} ight]=R$
从上面的过程看出，全0的行是其他行的线性组合（行一减去行二，行二除以2）
整个过程从求解$Ax=0$，消元变为$Ux=0$，简化变为$Rx=0$，熟悉了整个过程，Matlab中很容易实现这个过程$R = rref(A)$
上面的过程如下所示：
$left[egin{array}{llll}{1} & {2} & {2} & {2} \ {2} & {4} & {6} & {8} \ {3} & {6} & {8} & {10}end{array} ight] ightarrowleft[egin{array}{cccc}{1} & {2} & {2} & {2} \ {0} & {0} & {2} & {4} \ {0} & {0} & {0} & {0}end{array} ight] ightarrowleft[egin{array}{cccc}{1} & {2} & {0} & {-2} \ {0} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {0} & {0} & {0}end{array} ight]$
二、换一个角度
上面我们从数值解的角度描述了矩阵零空间的求法，下面从公式角度分析：
上面我们经过消元得到了最简形式R。我们将R经过列变换得到如下矩阵（交换二三列）：
$ar{R}=left[egin{array}{cccc}{1} & {0} & {2} & {-2} \ {0} & {1} & {0} & {2} \ {0} & {0} & {0} & {0}end{array} ight]$
同时，我们可以对方程式作如下变形：
$x=left[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ight]$
$ar{x}=left[x_{1}, x_{3}, x_{2}, x_{4} ight]$
方程的解不会发生变化，只是顺序变了，我们将$ar{R}$划分区域：
$I_{2 imes 2}=left[egin{array}{cc}{1} & {0} \ {0} & {1}end{array} ight], F_{2 imes 2}=left[egin{array}{cc}{2} & {-2} \ {0} & {2}end{array} ight]$
所以$ar{R}$将变为：
$ar{R}=left[egin{array}{cc}{I_{2 imes 2}} & {F_{2 imes 2}} \ {0_{1 imes 1}} & {0_{1 imes 1}}end{array} ight]$
最终解方程变成了：
$R x=0 ightarrow ar{R} ar{x}=0$
代入方程得到零空间：
$ar{R} ar{x}=0_{3 imes 1} ightarrowleft[egin{array}{cc}{I_{2 imes 2}} & {F_{2 imes 2}} \ {0_{1 imes 1}} & {0_{1 imes 1}}end{array} ight]left[egin{array}{c}{-F_{2 imes 2}} \ {I_{2 imes 2}}end{array} ight]=-I_{2 imes 2} F_{2 imes 2}+F_{2 imes 2} I_{2 imes 2}=0$
$ ightarrow ar{x}=left[egin{array}{c}{-F_{2 imes 2}} \ {I_{2 imes 2}}end{array} ight]=left[egin{array}{cc}{-2} & {2} \ {0} & {-2} \ {1} & {0} \ {0} & {1}end{array} ight]$
我们再将$x_2,x_3$进行位置互换：
$x=left[egin{array}{cc}{-2} & {2} \ {1} & {0} \ {0} & {-2} \ {0} & {1}end{array} ight]$
这两个特解与之前我们求得的特解一致
三、实例练习
有一矩阵$A$：
$A=left[egin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {2} & {4} & {6} \ {2} & {6} & {8} \ {2} & {8} & {10}end{array} ight] ightarrowleft[egin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {0} & {2} & {2} \ {0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0}end{array} ight] ightarrowleft[egin{array}{ccc}{1} & {0} & {1} \ {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0}end{array} ight]$
这样矩阵$A$就经过$U$变成了$R$
由于$R$本来就具有很好的形式，就不用进行列变换了：
$I_{2 imes 2}=left[egin{array}{cc}{1} & {0} \ {0} & {1}end{array} ight], F_{2 imes 1}=left[egin{array}{l}{1} \ {1}end{array} ight]$
$R_{4 imes 3}=left[egin{array}{ll}{I_{2 imes 2}} & {F_{2 imes 1}} \ {0_{2 imes 2}} & {0_{2 imes 1}}end{array} ight]$
$R_{4 imes 3} x_{3 imes 1}=0_{4 imes 1} ightarrowleft[egin{array}{cc}{I_{2 imes 2}} & {F_{2 imes 1}} \ {0_{2 imes 2}} & {0_{2 imes 1}}end{array} ight]left[egin{array}{c}{-F_{2 imes 1}} \ {I_{1 imes 1}}end{array} ight]=left[egin{array}{c}{-I_{2 imes 2} F_{2 imes 1}+F_{2 imes 1} I_{1 imes 1}=0_{2 imes 1}} \ {0_{2 imes 1}}end{array} ight]$
所以：
$x_{3 imes 1}=left[egin{array}{c}{-F_{2 imes 1}} \ {I_{1 imes 1}}end{array} ight]=left[egin{array}{c}{-1} \ {-1} \ {1}end{array} ight]$
注：最简矩阵R和零空间矩阵x在MATLAB中可以分别用命令rref(A)，null(A,'r')得到
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