欧几里德定理：
对于整数a, b来说有，gcd (a, b) == gcd (b, a%b) == d，又称为辗转相除法。
欧几里德证明：
先进行设定：x, y, t, k 为整数，并且有d*x == a, d*y == b. t = a - b. k = a / b。
那么t = d*x - d*k*y; t = d * (x - k * y); 故 t % d == 0;
所以gcd (b, t) == d == gcd (b, a%b) == gcd (a, b);
证毕。
欧几里德应用：
用来求a，b的最大公约数。
代码实现：
1 int gcd (int a, int b) 2 { 3 return b ? gcd (b, a % b) : a; 4 }
扩展欧几里德定理：
对于不完全为零的非负整数a, b。必定存在整数x, y，满足a*x + b*y == gcd (a, b) == b;
扩展欧几里德证明：
A. 我们知道对于gcd (a, 0) == a, 那么 a*x + b*y == a, 可以解出x = 1, y = 0。
B. 对于a, b都不等于零的情况来说：
a*x1 + b*y1 = gcd (a, b);
b*x2 + (a%b)*y2 = gcd (b, a%b);
欧几里德告诉我们gcd (a, b) == gcd (b, a%b), 那么我们对上面两个式子进行转化：
a*x1 + b*y1 == b*x2 + (a%b)*y2;
b*x2 + (a%b)*y2 == b*x2 + (a - a/b*b)*y2 == b*x2 + a*y2 - a/b*b*y2 == a*y2 + b*(x2 - a/b*y2)
得出：a*y2 + b*(x2 - a/b*y2) = a*x1 + b*y1，在根据恒等定理可以等到：x1 == y2, y1 == x2 - a/b*y2;
可以看出，x1, y2是基于x2,y2的。那么我们一次一次向下取余的话，根据基本欧几里德定理可知，总会有一次b == 0的。那么x1, y1 就肯定有解咯！
扩展欧几里德应用：
1：求解一元线性同余方程，如解决中国剩余定理问题。
2：求解不定方程，比如说对于：a*x + b*y = c, 如果c % gcd (a, b) == 0, 则对于x, y有解，否则无解。
那么问题来了，有解的话要怎么求解呢？
已知扩展欧几里德定理，我们可以求出x0, y0满足：a*x0 + b*y0 == gcd (a, b)
那么对于a*x1 + b*y1 == c来说，x1 = x0 * c / gcd (a, b), y1 = y0 *c / gcd (a, b);
对于x, y对应的解集就是：
x = x1 + b / gcd (a, b) * t;
y = y1 - a / gcd (a, b) * t;(t是任意的自然数)
扩展欧几里德实现：
1 LL Extended_Euclid (LL a, LL b, LL &x, LL &y) 2 {//处理 a * b > 0 的情况 3 if (b == 0) 4 { 5 x = 1; 6 y = 0; 7 return a; 8 } 9 10 LL r = Extended_Euclid (b, a%b, x, y), t; 11 t = x; 12 x = y; 13 y = t - a / b * y; 14 return r; 15 }
当a, b不同号的话，上面的推论就有一点问题了，在用恒等定理的时候x, y 也应该换号
1 LL Extended_Euclid (LL a, LL b, LL &x, LL &y) 2 {//可以处理所有的情况 3 if (b == 0) 4 { 5 x = 1; 6 y = 0; 7 return a; 8 } 9 10 LL r = Extended_Euclid (b, a%b, x, y), t; 11 t = x; 12 if (a * b < 0) 13 { 14 x = -y; 15 y = a / b * y - t; 16 } 17 else 18 { 19 x = y; 20 y = t - a / b * y; 21 } 22 return r; 23 }