数学：Nim游戏和SG函数

有若干堆石子，两人轮流从中取石子，取走最后一个石子的人为胜利者

以下的性质是显然的
1.无法移动的状态是必败态 
2.可以移动到必败态的局面一定是非必败态 
3.在必败态做所有操作的结果都是非必败态 

在普通Nim游戏中，a1^a2^a3^……^an=0是必败态 

如果没有限制每次可以取走的石子的数量的话，就不用引入SG函数了

否则

1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1); 
2.可选步数为任意步，SG(x) = x; 
3.可选步数为一系列不连续的数，用GetSG()计算 

可以看到第二种情况是SG函数的最简形式，相当于没有引入SG函数

然后打出SG函数表好像就可以做题了

BZOJ1874

限制步数的NIM游戏

然后每一堆的sg函数xor起来得到最终的sg函数，若为0，就输

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=15;
int n,m,ans;
bool mark[maxn];
int a[maxn],b[maxn],sg[1005];
void calcsg()
{
    for(int i=0;i<=1000;i++)
    {
        memset(mark,0,sizeof(mark));
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if(i-b[j]>=0) mark[sg[i-b[j]]]=1;
        for(int j=0;j<=10;j++)
            if(!mark[j]) {sg[i]=j;break;}
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&b[i]);
    calcsg();
    for(int i=1;i<=n;i++) ans^=sg[a[i]];
    if(ans==0) printf("NO
");
    else printf("YES
");
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if(sg[a[i]-b[j]]==(ans^sg[a[i]]))
            {
                printf("%d %d
",i,b[j]);
                return 0;
            }
    return 0;
}