最大体积
问题描述
每个物品有一定的体积（废话），不同的物品组合，装入背包会战用一定的总体积。
假如每个物品有无限件可用，那么有些体积是永远也装不出来的。
为了尽量装满背包，附中的OIER想要研究一下物品不能装出的最大体积。
题目保证有解，如果是有限解，保证不超过2，000，000，000
如果是无限解，则输出0
输入格式
第一行一个整数n（n<=10），表示物品的件数
第2行到N+1行: 每件物品的体积(1<= <=500)
输出格式
一个整数ans，表示不能用这些物品得到的最大体积。
样例输入
3
3
6
10
样例输出
题解：
小编这里弄好了两份代码，在网上也是参考了很多大佬的代码，这道题可能算是一个小型的动态规划吧
第一个：这个相对来说好理解一些，最主要的就是在两层for循环那里，把每一个可能加的数都加上了，小编直接用下标代表数了，然后打上记号，最后倒着输出那个没有被标记过的下标
（其实dp[j]一直在变，每次能加上的时候就把下标变成1，如果没有被用过就为初始的0，）
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static int n;
public static int temp;
public static int [] a = new int [11];
public static int [] dp = new int [100000];
public static int gcd(int a,int b) {
if (a % b == 0)
return b;
else
return gcd(b, a % b);
}
public static int gcdAll(){
temp = a[0];
for (int i = 1; i < n; i++)
{
temp = gcd(temp, a[i]);
}
return temp;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
for (int i = 0; i < n; i++)
a[i]=sc.nextInt();
if (gcdAll() == 1) //如果所有数的最大公约数为1,则有解，否则为无限解
{
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j =a[i]; j <= 100000-1; j++)
{
if (dp[j - a[i]] == 1) //i=0时，j为goods[0]的倍数；
//接下来，j为 goods[i]中物品体积值组合的结果
dp[j] = 1;
}
}
for (int i = 100000-1; i >= 0; i--) //逆序遍历所有的体积结果，将第一个不能组合的数输出后结束
{
if (dp[i]==0)
{
System.out.println(i);
break;
}
}
}
else {
System.out.println("NONE");
}
}
}
第二个：这一个用了一个数学知识 -------代数几何里面的–贝祖等式
相比第二个就要比第一个占用的内存少很多先放代码吧，证明写在下面
import java.util.Scanner;
public class Main{
public static int n;
public static int[] A = new int[11];
public static int[] flag = new int[250010];
public static void main(String[] args) {
int ans = 0, z, i, j, max = -100;
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
for (int z1 = 0; z1 < n; z1++) {
A[z1] = sc.nextInt();
}
max = -100;
for (i = 0; i < n; i++)
for (j = i + 1; j < n; j++)
if (Gcd(A[i], A[j]) == 1) {
max = A[i] * A[j] - A[i] - A[j];
break;
}
if (max == -100)
ans = 0;
else
for (i = 1; i <= max; i++)
for (z = 0; z < n; z++)
if (i - A[z] >= 0)
if (flag[i - A[z]] == 1) {
flag[i] = 1;
break;
} else
ans = i;
System.out.println(ans);
}
private static int Gcd(int a, int b) {
if (b == 0)
return a;
return Gcd(b, a % b);
}
}
这里相对于第一个代码优化的就是，两个相互质数的直接取出来，然后不是相互质数的在去进行循环
相对于这道题来说：求两个质数的最大取不到的数目（也就是两个质数无论如何也不能拼凑到的数中最大的那个）
假设有 a 和 b 两个质数，求他俩取不到的数目简单的式子就是
a*b-a-b
如果有兴趣的话，可以继续研究一下，（但这个应该不是找程序员的大佬了，应该去找数学大佬）下面是一个大概的证明方法
（这里有个小推荐，你可以搜索一下 蓝桥杯–买不到的数，这道题完全就是这个式子，因为 OJ 给出的测试用例全是质数，导致一个三行的代码就可以解答那道题，搜索这道题应该就可以更详细的来解释这个式子了）
当然如果研究不懂得话，那就直接记下这个式子吧
就当1+1=2记下吧，没有为什么
证明：
-
a或者b是1的情况下容易证明. 以下情况都是a>1且b>1的情况. 首先证明ab-a-b不能表示成ax+by
假设ab-a-b=ax+by,那么ab=am+bn (m,n都大于等于1) 左边是a的倍数,右边am是a的倍数,那么要求bn也要是a的倍数
b不是a的倍数,只能要求n是a的倍数,这样的话,bn=bn’a>=ba 那么am=ab-bn所以am1矛盾.
接着证明ab-a-b+i能表示成ax+by(i>0) 因为ab互质,最大公约数就是1,根据辗转相减的方法知ma+nb=1,
不妨假设m>0,n1(m=0意味着nb=1不可能的),所以ab-a-b+i(ma+nb)=(im-1)a+(a+in-1)b
im-1>0,现在只要证明a+in-1>=0,因为ima+inb=i
如果,|in|>ja其中j>0,那么ima=i+|in|b>jab,所以im>jb
所以ima+inb=(im-jb)a-(|in|-ja)b=i,说明|in|>ja时,我们就能调整im,in使得|in|1、我假装大家都知道贝祖等式：ax+by = gcd(a,b)。证明略。我们可以求出这个特解，然后求出ax+by = c的通解。
2、这里，题目要求的是有负整数解时（x，y中有负数）c最大是多少。
3、ax+by = c要有解时，则当 gcd(a,b)|c （c%gcd(a,b) == 0）时，该方程才有解。明显，当gcd(a,b)
不为1时，方程无解的情况是无穷多个的，因此不存在最大不能组合的数。4、我们总能求出x和y的一个特解，即把贝祖等式求解后的x和y，但是x和y的解可以是负数解。
5、显然这里x和y不能为负数，因此，该题目的问题得以有解答。求最大不能组合的数。
6、这里又有一条定理：当gcd(a,b) == 1 时（a和b互质），当c>ab-a-b时，方程ax+by =
c有非负解。所以最大不能组合出的数目就是 ab-a-b
。这里假设大家都知道这条定理，当然不知道也没关系，至少现在你知道了，可以自己试着证明一下，参考上面证明过程。