BZOJ3996: [TJOI2015]线性代数

Description

给出一个N*N的矩阵B和一个1*N的矩阵C。求出一个1*N的01矩阵A.使得

D=（A*B-C）*A^T最大。其中A^T为A的转置。输出D

Input

第一行输入一个整数N，接下来N行输入B矩阵，第i行第J个数字代表Bij.

接下来一行输入N个整数，代表矩阵C。矩阵B和矩阵C中每个数字都是不超过1000的非负整数。

Output

输出最大的D

Sample Input

3
1 2 1
3 1 0
1 2 3
2 3 7

Sample Output

HINT

1<=N<=500

题解Here!

本来以为是一道恶心数论。。。
这是个$flag$。。。
然后放了几天后壮着胆子看题，然后那个$flag$立马就被推翻了。。。
这不是网络流嘛。。。
由于$A$只有$0$和$1$，所以我们可以把$0$看作不取，$1$看作取。
那题目就变成了：
有$n$个点，取$i$要扣除$C_i$的收益，但同时取$i$和$j$则可以获得$B[i][j]+B[j][i]$的收益。
这就是很经典的最小割建模，因为把一张网络分成两部分，一部分表示取，另一部分表示不取，最小割就是这个方案的收益。
设源点$S$，汇点$T$。
用$(i,j)$表示同时选$i$和$j$，$S$向$(i,j)$连流量为$B[i][j]+B[j][i]$的边。
用$i$表示不选$i$，$i$向$T$连容量为$C[i]$的边。
为了保证$(i,j)$和$i,j$同时选择，$(i,j)$分别向$i$和$j$连流量为无限大的边。
这样，跑一遍最大流，$ ext{B矩阵中所有数的和-最小割}$就是答案了。
附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define MAXN 200010
#define MAXM 510
#define MAX 999999999
using namespace std;
int n,m,s,t,c=2;
long long sum=0;
int head[MAXN],deep[MAXN],B[MAXM][MAXM];
struct Edge{
	int next,to,w;
}a[MAXN*10];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
inline void add(int u,int v,int w){
	a[c].to=v;a[c].w=w;a[c].next=head[u];head[u]=c++;
	a[c].to=u;a[c].w=0;a[c].next=head[v];head[v]=c++;
}
bool bfs(){
	int u,v;
	queue<int> q;
	for(int i=1;i<=t;i++)deep[i]=0;
	deep[s]=1;
	q.push(s);
	while(!q.empty()){
		u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[u];i;i=a[i].next){
			v=a[i].to;
			if(a[i].w&&!deep[v]){
				deep[v]=deep[u]+1;
				if(v==t)return true;
				q.push(v);
			}
		}
	}
	return false;
}
int dfs(int x,int limit){
	if(x==t)return limit;
	int v,sum,cost=0;
	for(int i=head[x];i;i=a[i].next){
		v=a[i].to;
		if(a[i].w&&deep[v]==deep[x]+1){
			sum=dfs(v,min(a[i].w,limit-cost));
			if(sum>0){
				a[i].w-=sum;
				a[i^1].w+=sum;
				cost+=sum;
				if(cost==limit)break;
			}
			else deep[v]=-1;
		}
	}
	return cost;
}
int dinic(){
	int ans=0;
	while(bfs())ans+=dfs(s,MAX);
	return ans;
}
void work(){
	int ans=dinic();
	printf("%d
",sum-ans);
}
void init(){
	int x,y;
	n=read();
	m=n*(n+1)/2;
	s=m+n+1;t=s+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++){
		B[i][j]=read();
		sum+=B[i][j];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=i;j<=n;j++){
		x=(i==j?B[i][j]:(B[i][j]+B[j][i]));y=(i-1)*(2*n-i+2)/2+(j-i+1);
		add(s,y,x);
		add(y,m+i,MAX);
		if(i!=j)add(y,m+j,MAX);
		
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		x=read();
		add(m+i,t,x);
	}
}
int main(){
	init();
	work();
	return 0;
}