题目大意：计算数列a的第n项，其中：
一般的递推是O(n)的，显然时间和空间都不能承受。
由于每一步递推都是相同的。这句话包含了2个层面：首先，递推式是相同的；其次，递推的条件也要是相同的。综合来说，每一步的递推都是相同的。这是应用矩阵加速递推的充分条件。
那么怎么进行矩阵加速呢？我们首先观察，第(i)项和哪些项有关？ 与(i-3)和(i-1)优化，也就是和前3项有关。为了能够**仅仅利用矩阵就能推出(a[i])， 我们需要记录前3项，于是，我们构造一个3*3的矩阵：
有同学会问：这个矩阵是怎么构造出来的呢？
我们首先要构造出类似于DP的状态来存下所有计算过程中可能会用到的信息，对于这道题，我们需要记录：(假设我们要从(a[i])推到(a[i+1]))
这个矩阵要推到：
也就是说，我们需要构造一个矩阵(A)，使得(A*B = C)，根据线性代数的相关定义，A一定是一个(3*3)的矩阵，没错吧。
那好，我们已经得到：
我们只需要根据递推式，把矩阵(A)中的数填满就可以了，比如说：
由于$a[i+1] = a[i-2] +a[i] (，而根据矩阵，)a[i+1] = (0,0) * a[i] + (0,1) * a[i-1] + (0,2) * a[i-2]$，所以，矩阵的第一行是(1,0,1)，以此类推，就可以吧矩阵填满了。
然后，我们可以得到：
可是，有了这个，怎么从(a[1])推到(a[n])呢？
我们知道：(a[1] = a[2] = a[3] = 1),如果把它们代入矩阵(B)（就是中间的那个矩阵），我们会得到：
一开始我们只知道(a[1], a[2], a[3])，但是两个矩阵相乘后，我们得到了一个新的值(a[4] = 2)，很开心有木有。如果我们用矩阵(A)去乘矩阵(C)，会得到一个新的矩阵,暂且叫(C')，你会得到有一个新的值(a[5])，我们有点兴奋起来，这有点想多米诺骨牌，推到第一个，会一直向前倒，知道最后一个。我相信你脑子一定有了这样一个式子：
矩阵乘法有结合律（但没有交换律，不要问我为什么），所以左边一堆相同的矩阵（不妨叫系数矩阵）可以用一个括号括起来，就像这样：
想到了什么？
我们可以得到(k = n - 3)（想想为什么？），由于n很大，能不能快速求矩阵k次方呢？
在mod p意义下？矩阵乘法满足结合律？
快速幂！
为什么可以用快速幂这个黑科技呢？
普通的快速幂是用来求(b^k mod p)的，其原理是把(k)二进制拆分成(k=2^{a_1}+2^{a_2}+ ……+2^{a_k}),从而得到(b^k mod p = b^{2^{a_1}} * b^{2^{a_2}} * ……*b^{2^{a_k}} mod p = ((b^{2^{a_1}} mod p) *(b^{2^{a_2}} mod p) * …… * (b^{2^{a_k}} mod p)) mod p) ，只要满足乘法结合律，就可以进行快速幂。
矩阵快速幂通常用来加速递推。比如说斐波那契数列的第n项mod p的值也可以用矩阵快速幂来求。但是并不是所有的递推都可以用矩阵快速幂，只有那些转移具有周期性的递推才能使用。
代码模块
1、矩阵的定义（结构体）
struct Square{
int mat[3][3];
void clear(){
memset(mat, 0, sizeof(mat));
}
} Base, Result;
2、方阵的乘法
void Times(Square &A, Square B){
Square C; C.clear();
for (int i = 0; i <= 2; ++i)
for (int j = 0; j <= 2; ++j)
for (int k = 0; k <= 2; ++k)
(C.mat[i][j] += (LL)A.mat[i][k] * B.mat[k][j] % p) %= p;
A = C;
}
3、矩阵快速幂
void SquareQpow(Square Base, int k){
if (k == 1){
Result = Base;
return;
}
Result.clear();
SquareQpow(Base, k / 2);
Times(Result, Result);
if (k % 2 == 1) Times(Result, Base);
}
4、矩阵初始化
void init(){
Base.clear();
Base.mat[0][0] = 1; Base.mat[0][2] = 1;
Base.mat[1][0] = 1; Base.mat[2][1] = 1;
}
易错点
- 乘法时需进行强制类型转换：
(C.mat[i][j] += (LL)A.mat[i][k] * B.mat[k][j] % p) %= p; - C++数组从0开始的哦QAQ
- 计算答案时注意要加3项，不要只加2项
完整代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int p = 1e9 + 7;
struct Square{
int mat[3][3];
void clear(){
memset(mat, 0, sizeof(mat));
}
} Base, Result;
void init(){
Base.clear();
Base.mat[0][0] = 1; Base.mat[0][2] = 1;
Base.mat[1][0] = 1; Base.mat[2][1] = 1;
}
void Times(Square &A, Square B){
Square C; C.clear();
for (int i = 0; i <= 2; ++i)
for (int j = 0; j <= 2; ++j)
for (int k = 0; k <= 2; ++k)
(C.mat[i][j] += (LL)A.mat[i][k] * B.mat[k][j] % p) %= p;
A = C;
}
void SquareQpow(Square Base, int k){
if (k == 1){
Result = Base;
return;
}
Result.clear();
SquareQpow(Base, k / 2);
Times(Result, Result);
if (k % 2 == 1) Times(Result, Base);
}
int main(){
int T; scanf("%d", &T);
while (T--){
int n;
scanf("%d", &n);
if (n <= 3) printf("1
");
else{
init();
SquareQpow(Base, n-3);
printf("%d
", ((Result.mat[0][0] + Result.mat[0][1]) % p + Result.mat[0][2]) % p);
}
}
return 0;
}