快速幂学习笔记

快速幂||取余运算

代码

代码（C++）：

int quick_pow(int a,int n/*,int p*/)
{
    long long base=a;
    int ans=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            ans*=base;
            //ans%=p;
        }
        n>>=1;
        base*=base;
        //base%=p;
    }
    return ans;
}

分析

本题计算：

$ a^n mod p $

首先观察$2^5=32$这个式子。

我们知道$5$的二进制为$101$。

我们还知道$32=2^4 imes 2^1$

再来看$2^7=128$，

我们知道$7$的二进制为$111$，

我们还知道$128=2^4 imes 2^2 imes 2^1$

以此类推，我们发现：

二进制	6	5	4	3	2	1
幂	$a^{32}$	$a^{16}$	$a^8$	$a^4$	$a^2$	$a^1$

所以：

假如我们要计算$a^{n$，只需要把$n$分解成二进制，将“$1$”位对应的$a}k$相乘即可

我们发现表格中$a^k=( a^{(k-1)} ) ^2$

所以表格中第$k$位的幂为$a^{2{ ( k-1 ) }}$

再来看代码：

其中n&1代表检查n二进制最后一位是不是$1$；

n>>=1代表将n右移一位（等效于n/=2），用于检查下一位是不是$1$

如果最后一位是$1$，那么答案乘上base。

其中base记录了表格第二行的数据，以每次自乘一次更新

如果要取模，则再base和ans每次进行运算时$mod p$。

最后，在n==0，也就是n的每一位都检查完毕后跳出循环，返回答案。

时间复杂度

$$ T(N) = O(log N) $$

参考文献

1. 快速幂和取余运算 - 学委的博客