[SDOI2013]保护出题人

XIV.[SDOI2013]保护出题人

这题好像不算DP……但是涉及到斜率和凸包的题都是好题

因为这题要求是确保没有任何一个姜丝能活着走到门口，

所以设血量的前缀和为\(s\)，每两只姜丝间距离为\(m\)，

则对于 \(\forall i\) ，

都应有\(ans_i=\max\limits_{j=0}^{i-1}\{\dfrac{s_i-s_j}{x_i+(i-j-1)*m}\}\)

其中，分母是第 \(j+1\) 只姜丝距离门的距离，分子是第\(i\)到第\(j+1\)姜丝的总血量。

这样便能拿到\(50\%\)！！

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,m,s[100100];
double res,ans;
signed main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(int i=1,x;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld",&s[i],&x),s[i]+=s[i-1],res=0;
		for(int j=0;j<i;j++)res=max(res,1.0*(s[i]-s[j])/(x+(i-j-1)*m));
		ans+=res;
	}
	printf("%.0lf\n",ans);
	return 0;
}

我们将这个东西变成斜率的形式：

\(ans_i=\max\limits_{j=0}^{i-1}\{\dfrac{\{s_i\}-\{s_j\}}{\{x_i+im\}-\{m(j+1)\}}\}\)

可以将其看作是\(\Big(s_i,x_i+im\Big)\)与\(\Big(s_j,m(j+1)\Big)\)的斜率。

即

\(ans_i=\max\limits_{j=0}^{i-1}\{\operatorname{slope}\{\Big(s_i,x_i+im\Big),\Big(s_j,m(j+1)\Big)\}\}\)

前者我们没法管它；但是后者，我们是可以维护下凸壳的（因为对于不同的\(i\)，后面的东西是相同的）。用单调栈维护并二分查找出斜率的最大值（实际上对于这种单峰函数应该写三分来着的……但是如果三分分的那两个点都在一起那不就是二分吗），并统计答案即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define x first
#define y second
#define mp make_pair 
int n,m,s[100100],tp;
double res,ans;
double slope(pii u,pii v){//ask for the slope from u to v
	return 1.0*(v.y-u.y)/(v.x-u.x);
}
pii stk[100100];
signed main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&m),stk[0]=mp(m,0);
	for(int i=1,x;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld",&s[i],&x),s[i]+=s[i-1];
		int l=0,r=tp,qwq=0;
		pii tmp=mp(x+i*m,s[i]);
		while(l<=r){
			int mid=(l+r)>>1;
			if(slope(stk[mid],tmp)<slope(stk[mid-1],tmp))r=mid-1;
			else qwq=mid,l=mid+1;
		}
		res=slope(stk[qwq],tmp);
		tmp=mp((i+1)*m,s[i]);
		while(tp&&slope(stk[tp-1],tmp)>=slope(stk[tp],tmp))tp--;
		stk[++tp]=tmp;
		ans+=res;
	}
	printf("%.0lf\n",ans);
	return 0;
}