数学（概率）：HNOI2013 游走

【题目描述】

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

【输入格式】

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数 和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

【输出格式】

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

【样例输入】

  3  3                
  2  3
  1  2
  1  3
  

【样例输出】

3.333

【提示】

边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。

这道题目，先求每个点经过的期望次数，我觉得一般是用正推的，然后贪心。

 

 

 

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=510,M=N*N;
int n,m,e[M][2],d[N];
long double A[N][N];
double ans,w[M],x[N];
void Guass_Elimination(){
    for(int i=1;i<n;i++){
        int p=i;
        for(int j=i+1;j<n;j++)
            if(fabs(A[p][i])<fabs(A[j][i]))
                p=j;
        if(p!=i)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                swap(A[i][j],A[p][j]);
        long double tmp=A[i][i];
        for(int j=1;j<=n;j++)
            A[i][j]/=tmp;
        for(int j=1;j<n;j++)
            if(i!=j){
                tmp=A[j][i];
                for(int k=1;k<=n;k++)
                    A[j][k]-=tmp*A[i][k];
            }
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
        x[i]=A[i][n];
}
int main(){
    freopen("walk.in","r",stdin);
    freopen("walk.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&e[i][0],&e[i][1]);
        d[e[i][0]]+=1;d[e[i][1]]+=1;
    }A[1][n]=1;
    for(int i=1;i<n;i++)A[i][i]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(e[i][0]==n||e[i][1]==n)continue;
        A[e[i][0]][e[i][1]]+=-1.0/d[e[i][1]];
        A[e[i][1]][e[i][0]]+=-1.0/d[e[i][0]];
    }
    Guass_Elimination();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        w[i]+=x[e[i][0]]/d[e[i][0]];
        w[i]+=x[e[i][1]]/d[e[i][1]];
    }
    sort(w+1,w+m+1);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        ans+=w[i]*(m-i+1);
    printf("%.3lf
",ans);    
    return 0;
}