• 数据在计算机中的表示 | 进制转换、浮点数表示


    计算机中使用的数据可分成两大类:

    • 符号数据:非数字符号的表示(ASCII、汉字、图形等)
    • 数值数据:数字数据的表示方式(定点、浮点)

    数据格式:

    • 二进制:用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2,逢二进一。是计算技术中广泛采用的一种数制。
    • 八进制:用3位二进制表示八进制,它的基数为8,逢8进一。
    • 十六进制:用4位二进制表示十六进制,它的基数为16,逢16进一。使用 0-9 A-F 分别表示10进制的 0-9 10-15。
    二进制 八进制 十六进制 十进制
    0000 0 0 0
    0001 1 1 1
    0010 2 2 2
    0011 3 3 3
    0100 4 4 4
    0101 5 5 5
    0110 6 6 6
    0111 7 7 7
    1000 10 8 8
    1001 11 9 9
    1010 12 A 10
    1011 13 B 11
    1100 14 C 12
    1101 15 D 13
    1110 16 E 14
    1111 17 F 15
    进制转换:

    10进制和R进制之间的转换

    • R进制到10进制:
      i=nmki×ri sum_{i=n}^{-m} k_i × r^i

    • 10进制到R进制:
      整数部分:除r取余,r为进制基数
      小数部分:乘r取整

    10进制整数转任意进制整数(C++代码)
    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    
    // 字符串反转
    void StrReverse(char* str)
    {
    	char tmp;
    	int len = strlen(str);
    	for (int i = 0, j = len - 1; i <= j; i++, j--)
    	{
    		tmp = str[i];
    		str[i] = str[j];
    		str[j] = tmp;
    	}
    	str[len] = '';
    }
    
    //十进制转任意进制(小于等于36)
    void DecToArbitrary(int num, int radix, char* str)
    {
    	if (radix <= 0)	return;
    	str[0] = '0';		// 0 ==》 0
    	bool flag = false;	/* 负数 */
    	if (num < 0) { num *= -1;	flag = true; }
    	
    	int i = 0;
    	char ch[] = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ";
    	while (num != 0)
    	{
    		str[i++] = ch[(num % radix)];
    		num /= radix;
    	}
    	
    	if (flag)	str[i] = '-';
    	StrReverse(str);
    }
    
    int main()
    {
    	char str[100] = "";
    
    	/* 
    		DecToArbitrary(num, r , str);
    		将10进制装换为 r 进制
    		num(10) ==> str(r)
    	*/
    	DecToArbitrary(32, 16, str);
    	cout << "hex: " str << endl;
    
    	return 0;
    }
    
    任意进制整数转10进制整数(C++代码)
    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    // 幂函数
    int myPow(int x, int n)
    {
    	unsigned int z = (n >= 0 ? n : -n);
    
    	for (int tmp = 1; ; x *= x)
    	{
    		if ((z & 1) != 0)
    		{
    			tmp *= x;
    		}
    		if ((z >>= 1) == 0)
    		{
    			return n >= 0 ? tmp : 1.0 / tmp;
    		}
    	}
    }
    
    
    //任意进制转十进制(小于等于36)
    /* str(r) ==> num(10)   */
    void ArbitraryToDec(char* str, int radix, int& num)
    {
    	num = 0;		// 0 ==》 0
    	if (NULL == str || radix < 0 )	return;
    	int len = strlen(str);
    	int i =  len - 1;
    	int sum = 0;
    				/* 
    					A, B, C, D ...    ascii 65-90 
    					a, b, c, d ...    ascii 97-128
    				*/
    	char ch[] = {10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35};
    
    	while (i >= 0 && isalnum(str[i]))
    	{
    		int n = 0;
    		if (isalpha(str[i]))	// 字母
    		{
    			int t = 65;
    			if (islower(str[i]))	t = 97;
    			n = ch[str[i] - 0 - t];
    
    			if (n >= radix)		// error:数位大于进制
    			{
    				sum = -1;
    				break;
    			}
    		}
    		else if (isdigit(str[i]))	// 数字
    		{
    			n = str[i] - '0';
    		}
    
    		sum += n * myPow(radix,len - i -1); 
    		i--;
    	}
    
    	if (str[0] == '-') sum *= -1;
    	num = sum;
    }
    
    int main()
    {
    	int num = 0;
    	char str[128] = "";
    	
    	/*
    		ArbitraryToDec(str, r, num);
    		将r进制为10装换
    		str(r) ==> num(10)
    	*/
    	cin >> str;
    	ArbitraryToDec(str, 16, num);
    	cout << "dec: " << num << endl;
    
    	return 0;
    }
    
    浮点数 IEEE 754

    IEEE754标准(规定了浮点数的表示格式,运算规则等)

    • 规则规定了单精度(32)和双精度(64)的基本格式.
    • 规则中,尾数用原码,指数用移码(便于对阶和比较)
      在这里插入图片描述
      浮点数的表示:
      在这里插入图片描述
      ——图片来自MOOC

    32位的浮点数:

    • S数的符号位,1位,在最高位,“0”表示正数,“1”表示负数。
    • M是尾数, 23位,在低位部分,采用纯小数表示
    • E是阶码,8位,采用移码表示。移码比较大小方便。
    • 规格化: 若不对浮点数的表示作出明确规定,同一个浮点数的表示就不是惟一的。
      尾数域最左位(最高有效位)总是1, 故这一位经常不予存储,而认为隐藏在小数点的左边。
      采用这种方式时,将浮点数的指数真值e变成阶码E时,应将指数e加上一个固定的偏移值127(01111111),即E=e+127

    64位的浮点数
    符号位1位,阶码域11位,尾数域52位,指数偏移值是1023。因此规格化的64位浮点数x的真值为:
    x=(1)S×(1.M)×2E1023x=(-1)^S×(1.M)×2^{E-1023}
    e=E-1023
    一个规格化的32位浮点数x的真值表示为
    x=(1)S×(1.M)×2E127x=(-1)^S×(1.M)×2^{E-127}
    e=E-127

    例1:已知754标准存储格式十六进制,求浮点数十进制数值

    若浮点数x的754标准存储格式为(41360000)16,求其浮点数的十进制数值。
    解:

    • 将16进制数展开后,可得二制数格式为
      0       100 00010          011011000000000000000000 100 00010 011 0110 0000 0000 0000 0000
      S       (8)         (23)S 阶码(8位) 尾数(23位)
    • 指数e=阶码-127=10000010-01111111=00000011=(3)10
    • 包括隐藏位1的尾数
      1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011
    • 于是有
      x=(1)S×1.M×2e=+(1.011011)×23=+1011.011=(11.375)10x=(-1)S×1.M×2^e=+(1.011011)×2^3=+1011.011=(11.375)_{10}

    C++代码实现

    #include <iostream>
    #include <bitset>
    using namespace std;
    
    void hex_to_float()
    {
    	// 将16进制转换为2进制
    	unsigned long long num = 0x0;
    	cin >> hex >> num;
    	bitset<32> bit(num);
    
    	// 将2进制准换为float类型
    	float res = *(float*)&bit;
    
    	cout << res << endl;		// 输出10进制浮点数形式
    	cout << bit << endl;		// 输出IEEE 754 格式二进制
    }
    
    int main()
    {
    
    	hex_to_float();
    	/*
    	输入: 0x41360000 或 41360000
    	输出:
    	11.375
    	01000001001101100000000000000000
    	*/
    
    	return 0;
    }
    
    例2:将十进制浮点数转换为754标准的32位浮点数的二进制存储格式

    将数(20.59375)10转换成754标准的32位浮点数的二进制存储格式。
    解:

    • 首先分别将整数和分数部分转换成二进制数:
      20.59375=10100.1001120.59375=10100.10011
    • 然后移动小数点,使其在第1,2位之间
      10100.10011=1.010010011×2410100.10011=1.010010011×2^4
      e=4于是得到:S=0, E=4+127=131, M=010010011
    • 最后得到32位浮点数的二进制存储格式为:
      01000001101001001100000000000000=(41A4C000)16

    C++代码实现

    #include <iostream>
    #include <bitset>
    using namespace std;
    
    void float_to_bin()
    {
    		float fa;
    		cin >> fa;	// 取 fa 地址,强转为 uint64_t 类型地址,解引用为 uint64_t 类型 
    		unsigned long long tmp = *(unsigned long long*) & fa;
    		bitset<32> bin(tmp);
    		cout << bin << endl;
    }
    
    void float_to_hex()
    {
    	float fa;
    	cin >> fa;
    	unsigned long long tmp = *(unsigned long long*) & fa;
    	bitset<32> bin(tmp);
    
    	bitset<32> bit(bin);
    	unsigned long a = bit.to_ullong();	// bitset 转 usigned long long
    	cout << hex<< a << endl;
    }
    
    int main()
    {
    
    	float_to_bin();
    	/*
    	输入:20.59375
    	输出:01000001101001001100000000000000
    	*/
    	float_to_hex();
    	/*
    	输入:20.59375
    	输出:41a4c000
    	*/
    	return 0;
    }
    

    数的机器码表示
    真值:一般书写的数
    机器码:机器中表示的数, 要解决在计算机内部数的正、负符号和小数点运算问题。

    • 原码:符号位加上真值
    • 反码:除符号为,其余位皆取反
    • 补码:反码+1。
    • 移码:对补码符号位取反

    注:正数的原码、反码、补码、移码都相同,并且在计算机中存储带有符号的数都是以补码形式存储,用补码形式进行运算的。

    如:
    [ 1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反 = [0000 0001]补 = [0000 0001]移
    [-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反 = [1111 1111]补 = [0111 1111]移


    附:
    bitset: C ++标准库参考/C ++标准库头文件/bitset Class

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/TaoR320/p/12680093.html
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