CF838D [* hard]
好仙的题...
- 给定 (N,M) 表示有 (N) 个座位从 (1sim N) 依次排布，(M) 个人从 (1sim M) 依次标号，现在从 (1 o M) 每个人依次选择从左边/右边指定一个位置 (x_i) 然后从左往右/从右往左走过去，如果位置被其他人占据了就一直顺着方向走，如果其走到了另一个出口那么他就会不开心。
- 求所有为人选择初始指定位置以及方向最终使得合法的方案数。
- (N,Mle 10^5)
( m Sol:)
直接计数非常困难，我们考虑转换，假想每个人随机指定一个位置并开始走，求最后合法的概率。
然而这样计算仍然非常困难，注意到每个人可以往左走也可以往右走，我们将之想象成在一个 (1 o n) 的环上『顺时针』/『逆时针』走，然而这样无法表示非法的情况，考虑在 (1) 与 (n) 的接口处增加一个位置 (n+1)，那么如果这个位置被占据了就说明状态非法，否则均合法。
于是我们只需要统计给一个 (n+1) 的环分配 (m) 个人任意走最后使得 (n+1) 没有被占据的概率即可，如果认为初始可以配置在 (n+1) 处，那么显然在这个环上的每个位置都是等价的，所以概率均相同，于是一个位置被占据的概率为 (frac{m}{n+1})，可以得到答案发生的概率为 (frac{n+1-m}{n+1})，乘以方案数 ((2 imes (n+1))^m) 即可。