问题描述：给定一整数序列A1， A2，... An （可能有负数），求A1~An的一个子序列Ai~Aj，使得Ai到Aj的和最大
这是我前几天参加新浪广告算法组面试的时候一个题目。自己当时脑袋浆糊了，加上前面答的不好，这里答的时候脑子一片空白。哎~
这一题本质在于动态规划的运用。至于O(n^3), O(n^2),还有O(nlogn)的解法我就不多说了。
先上代码
int FindMaxSumSubSequence(int a[], int len) { int max = 0; int sum = 0; for(int i = 0; i < len; i++) { sum += a[i]; if ( sum > max ) max = sum; else if ( sum < 0) sum = 0; } return max; }
关键在于如何理解这样一段代码。
网上大众的解释如下
“在这一遍扫描数组当中，从左到右记录当前子序列的和temp_sum，若这个和不断增加，那么最大子序列的和max也不断增加(不断更新max)。如果往前扫描中遇到负数，那么当前子序列的和将会减小。此时temp_sum 将会小于max，当然max也就不更新。如果temp_sum降到0时，说明前面已经扫描的那一段就可以抛弃了，这时将temp_sum置为0。然后，temp_sum将从后面开始将这个子段进行分析，若有比当前max大的子段，继续更新max。这样一趟扫描结果也就出来了。”
这是一种比较通俗化的描述，但没有深入动态规划的本质解释。尤其是如何解释“说明前面已经扫描的那一段就可以抛弃了”这样一句话。
下面将从动态规划的角度解释为什么可以在O(n)复杂度内解决问题
根据定义，我们可以定义bj
那么最大子段和为
由bj的定义知，b[j-1] > 0 时， b[j] = b[j-1] + a[j]，否则b[j] = a[j]
故状态转移方程为b[j] = max{b[j-1]+a[j], a[j]}
故代码如下
int MaxSum(int a[], int len) { int sum = 0; int b = 0; for(int i = 0; i < n; ++i) { if ( b>0 ) b+=a[i]; else b = a[i]; if ( b > sum ) sum = b; } return sum; }
写到这里 ，还需要解释几个比较让人迷惑的问题
1) b[j]到底是个什么东西？
b[j]本质上就是到下标为j的地方为止，连续子序列的最大和。
那么整个数组的最大子序列和就是max(b[i])
2) b[j]具有最优子结构么
当然，任意一个b[j]均由b[j-1]扩展而来，为什么，请结合问题1)。扩展的方式如上文所述。故可以用状态转移方程统一描述。
3) 为什么b[j-1] > 0 b[j] = b[j-1] + a[j]，否则b[j] = a[j]
看图，如果是负数，那么在此基础上扩展，和一定会变小，与其如此，不如选定新的和，即b[j] = a[j]
