[bzoj2131] 免费的馅饼

Description

Input

第一行是用空格隔开的二个正整数，分别给出了舞台的宽度W（1到10^8之间）和馅饼的个数n（1到10^5）。　　接下来n行，每一行给出了一块馅饼的信息。由三个正整数组成，分别表示了每个馅饼落到舞台上的时刻t[i]（1到10^8秒），掉到舞台上的格子的编号p[i]（1和w之间），以及分值v[i]（1到1000之间）。游戏开始时刻为0。输入文件中同一行相邻两项之间用一个空格隔开。输入数据中可能存在两个馅饼的t[i]和p[i]都一样。

Output

一个数，表示游戏者获得的最大总得分。

Sample Input

3 4
1 2 3
5 2 3
6 3 4
1 1 5

Sample Output

12
【数据规模】
对于100%的数据，1<=w,t[i]<=10^8,1<=n<=100000。

这道题真的令我印象十分特别深刻...。在东北的时候听过回来又听zyl讲过

这道题是一道用线段树解决的二位偏序的$dp$问题

dp[i]表示当前吃第$i$块馅饼所能够获得的最大价值考虑如何转移转移方程式是很简单的

$dp[i] = max(dp[j] + val[i])$，$j$属于能够转移到$i$的馅饼

那么现在需要解决的问题就是哪些馅饼能够转移到$i$号首先$j$号馅饼一定要在$i$号馅饼之前出现

考虑如果$j$号馅饼能够转移到$i$号那么还需要满足式子

$|pos[i] - pos[j]| <= 2 * (t[i] - t[j])$

打开绝对值之后得到的两个化简得到两个关于$i,j$的式子将同属性的移到等式一边得到

　　　　　　　　$2 * t[i] - pos[i] >= 2 * t[j] - pos[j] , 2 * t[i] + pos[i] >= 2 * t[j] + pos[j]$

发现这两个式子是等价的也就是说只要同时满足上面两个式子原始式子就一定成立

证明：

$1.pos[i] >= pos[j]$ 也就是说他满足了式子$1$ 原本$t[i] > t[j]$ 那么$2 * t[i]$加上$pos[i]$后会比左边更大一定成立

第二种情况的证明是一样的所以两只需要同时满足这两个属性就可以进行转移

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N = 1e5 + 5;
int n,m,tt[N],f[4 * N],w,dp[N];
 
struct food {
     
    int f1,f2,val;
}b[N];
 
void init( ) {
     
    int t,p,val;
    scanf("%d%d",& w,& n);
    for(int i = 1;i <= n;i ++) {
        scanf("%d%d%d",& t,& p,& val);
        b[i].f1 = 2 * t + p;
        b[i].f2 = 2 * t - p;
        b[i].val = val;
        tt[i] = 2 * t + p;
    }
    sort(tt + 1,tt + n + 1);
    m = unique(tt + 1,tt + n + 1) - tt - 1;
}
 
void update(int o) {
     
    f[o] = max(f[2 * o],f[2 * o + 1]);
}
 
bool cmp(const food & a,const food & b) {
     
    return a.f2 < b.f2;
}
 
int query(int o,int l,int r,int L,int R) {
     
    if(l >= L && r <= R) return f[o];
    int mid = (l + r) >> 1;
    int ans = 0;
    if(L <= mid) ans = max(ans,query(2 * o,l,mid,L,R));
    if(mid < R)  ans = max(ans,query(2 * o + 1,mid + 1,r,L,R));
    return ans;
}
 
void modify(int o,int l,int r,int pos,int val) {
     
    if(l == r) {
        f[o] = max(f[o],val);
        return ;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(pos <= mid) modify(2 * o,l,mid,pos,val);
    else modify(2 * o + 1,mid + 1,r,pos,val);
    update(o);
}
 
int main( ) {
     
    init( );
    sort(b + 1,b + n + 1,cmp);
     
    for(int i = 1;i <= n;i ++) {
        int pos = lower_bound(tt + 1,tt + m + 1,b[i].f1) - tt;
        int q = query(1,1,m,1,pos);
        dp[i] = q + b[i].val;
        modify(1,1,m,pos,dp[i]);
    }
    printf("%d",query(1,1,m,1,m));
    return 0;
}