[转载] $Luogu$ $P4951$ 题解

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二分答案好题！

这题虽然年代久远（2001），但是USACO出题者的智慧duliu确实让我们惊叹。

题意是说给出一张无向图，每条边有一个时间 $ t $ 和一个花费 $ c $ ，另给出酬劳 $ f $ ，求平均时间的利润。

不妨设平均时间的利润为 $ ans $ ，则 $ ans = frac{ f - sum{ c_i } }{ sum{ t_i } }$ 。对式子进行变换易得 $ f - sum{ c_i } - ans * sum{ t_i } = 0 $ 。

令函数 $ f ( ans ) = f - sum{ c_i } - ans * sum{ t_i } $ ，显然 $ f ( ans ) $ 是具有单调性的，在本题范围内单调递减。

因此，我们可以采用二分答案的做法来解决这道题目，对 $ ans $ 进行二分。

当然，二分答案的精髓永远是 $ check $ 函数。本题中为了检验答案的合法性，由前面的式子不妨将每条边的权值设定为 $ c_i + ans * t_i $ ,通过跑一遍 $ Kruskal $ 很容易算出$ sum{ c_i } + ans * sum{ t_i } $ ，若 $ f $ 小于该值则答案过小，反之答案过大。

至此，本题结束！其余细节见下方代码。有疑问和指正评论区见，谢谢观看！

扩展阅读：最优比率生成树

本题代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
	int ret=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0')
	{
		if(ch=='-')
			f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		ret=(ret<<1)+(ret<<3)+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return ret*f;
}
int n,m,f,fa[405];
long long mid,l,r=2e15;
struct Edge
{
	int x;
	int y;
	int c;
	int t;
	double w;
}edge[10005];
inline bool cmp(Edge a,Edge b)
{
	return a.w<b.w;
}
inline int find(int x)
{
	if(fa[x]==x)
		return x;
	return fa[x]=find(fa[x]);
}
inline bool check(long long mid)
{
    for(register int i=1;i<=m;i++)
		edge[i].w=mid/(3e6+0.0)*edge[i].t+edge[i].c;
    int tmp=1;
    sort(edge+1,edge+m+1,cmp);
	for(register int i=1;i<=n;i++)
		fa[i]=i;
    double k=f+1e-12;
    for(register int i=2;i<=n;i++)
	{
        while(tmp<=m&&find(edge[tmp].x)==find(edge[tmp].y))
			tmp++;
        fa[find(edge[tmp].x)]=find(edge[tmp].y),k-=edge[tmp].w;
        if(k<0)
			return false;
    }
	return true;
}
int main()
{
    n=read();
	m=read();
	f=read();
    for(register int i=1;i<=m;i++)
	{
		edge[i].x=read();
		edge[i].y=read();
		edge[i].c=read();
		edge[i].t=read();
	}
    if(!check(0))
	{
		printf("0.0000
");
		return 0;
	}
    while(l<r)
	{
        mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid+1))
			l=mid+1;
        else
			r=mid;
    }
	printf("%0.4lf
",l/(3e6+0.0));
    return 0;
}