$DeclareMathOperator{lowbit}{lowbit}$
题目大意
对于一个数 $x$，设它最低位的 1 是第 $i$ 位，则 $lowbit(x)=2i$ 。
例如 $lowbit(5)=1$，$lowbit(12)=4$ 。
定义对 $x$的一次变换为：有 50% 的概率变成 $x+lowbit(x)$，有 50% 的概率变成 $x-lowbit(x)$ 。
定义 $f(x)$ 为对 $x$ 不停变换，变换到 0 的期望变换次数。
给定 $L, R$（$0le L le R < 2^{31}$），求 $sumlimits_{x=L}^{R} f(x)$ 。
答案对 $998244353$ 取模。
分析
题解是 DP，但是我没看懂。我想到的一种记忆化（memoization）递归求解的方法，能 AC，但是我搞不清楚这种方法的复杂度。
令
[ S(n) = sum_{i=0}^{n} = f(i) ]
则我们有
[
egin{aligned}
f(0) &= S(0) = 0 \
f(1) &= S(1) = 2 \
S(2n) &= S(n) + n + frac{S(n) + S(n-1)}{2} \
S(2n+1) &= S(n) + n+1 + frac{S(n+1) + S(n)}{2}
end{aligned}
]
根据 $S(n)$ 的递推式，是否可以猜测 $S(n)$ 关于 $n$ 是线性增长的呢？
这个问题是很值得研究的。
记忆化递归（recursion with memoization）