继前两节我们分别探讨了极化码的编码，以及深入到高斯信道探讨高斯近似法之后，我们来关注一个非常重要的极化码构造算法。这个算法并没有一个明确的名词，因此我们以两位发明者的名字将其命名为“Tal-Vardy算法”。
在《极化码小结（2）》之中，我们简单讲述了BEC信道下构造极化码的方法——通过直接计算巴氏参数Z(W)来构造，计算复杂度为O(N)。
在《极化码之高斯近似》中，我们讨论了常用的高斯信道下构造极化码的方法——高斯近似，计算复杂度也为O(N)。
现在，我们再次将极化码的触手伸向另一种常见的信道——二元对称无记忆信道（BMS）。
由于篇幅可能较大，因此我将分两节对该算法进行一个简略的介绍。我会将本文涉及到的参考文献放在相关内容开头，并建议有需要的各位去读原论文。
【1】《How to Construct Polar Codes》Ido Tal, Alexander Vardy.
Part1. 简单介绍
这套算法中，有两个核心的信道操作，一种叫做信道弱化（degrade），另一种叫做信道强化（upgrade）。论文作者形象的将这两种操作产生的弱化信道、强化信道与原信道的关系比喻成“三明治”的结构。
图1 三种信道之间的关系示意
论文的大致思路，就是通过将原始信道通过弱化操作和强化操作，使之成为弱化信道和强化信道。分析发现，这两种信道在各种参数水平上都极为接近，因此通过类似数学上的“两边夹定理”，我们可以用这两个信道来近似原始信道。
“tal-vardy算法”构造极化码的思路是直接计算各信道的错误概率Pe(W)，然后利用这个参数来挑选我们所需的信息位。这种挑选信道的方法显然更具有普遍性。。“Tal-Vardy算法”是针对B-DMC（二元离散无记忆）信道提出的，对于像高斯信道这样具有连续输出的信道不能直接使用。因此作者也提出了一种办法，使得这种算法同样能够应用于输出连续的信道。
我们之前提到过，计算信道错误概率Pe(W)的难度在于W的输出符号集大小随着n呈指数型增长，这是需要克服的难点。为了使上述计算成为可能，作者在弱化操作或强化操作中，通过使用“合并函数”，使得输出符号集能够缩减到指定的符号集大小。
利用该算法构造极化码的时间复杂度为n的线性复杂度。
根据论文的思路，为了更好的理解这篇论文中所提出的这一算法，我们将尝试从三个部分来探讨。分别是输出字符集的合并、信道操作、如何处理连续对称信道。
Part2.研究对象
【2】《A Note on Symmetric Discrete Memoryless Channels》Ingmar Land.
在研究极化码构造问题时，我们经常遇到各种各样的信道，现在我们来做一个简单的总结。
DMC（离散无记忆信道）
DMC具有离散的输入字符集X，离散的输出字符集Y，以及转移概率函数P(y|x)。它的输出仅仅与当前的输入有关，因此它又是无记忆信道。
假设输入字符集大小为Mx，输出为My，不失一般性的，我们假设：
那么，这个 信道的转移概率可以用一个矩阵来表示：
注意到，矩阵的每一行的和都为1。
Strongly Symmetric DMCs（强对称DMC）
在介绍这个信道之前，我们先来介绍一个概念——恒等排列。
如果向量v和向量μ中的元素完全相同，只是元素的排列顺序不同，那么，我们称v为μ的一个恒等排列。
eg. μ=[1 2 3 4]，v=[2 4 1 3]，则v是μ的一个恒等排列。
定义：对于一个信道的转移概率矩阵，如果矩阵的每一行都是其他行的恒等排列；每一列都是其他列的恒等排列，那么我们称这个转移概率矩阵所描述的DMC为“强对称DMC”。
一个非常特殊的例子是二元对称信道（BSC）：
图2 二元对称信道
二元对称信道的输入字符集为{0,1}，输出也为{0,1}，其转移概率矩阵为：
对称DMC
定义：对于一个转移概率矩阵，如果它能够按列拆分为数个子矩阵，使得每一个子矩阵都满足“强对称”定义，那么，我们称这个转移概率矩阵所描述的DMC为“对称DMC”。
一个特殊的例子是二元删除信道（BEC）：
图3 二元删除信道
它的输入字符集为{0,1}，输出字符集为{0,△,1}，其中△为删除符号。BEC的转移概率为：
显然 ，它可以按列拆分为两个子矩阵：
这两个矩阵都符合强对称信道的定义，因此BEC是对称DMC。
另外一个特例是AWGN信道。BPSK调制下，AWGN信道的输入字符集为{-1,1}。首先，可以用相对于y = 0对称的量化区间来量化输出（也即，将连续输出近似为离散输出），它的子信道都是BSC，根据上述定义，所生成的信道是对称的。其次，这个量化区间可以设置的无穷小，其子信道依旧是BSC，不过子信道的数量趋近于无穷。
弱对称DMC
定义： 对于一个转移概率矩阵，如果它的每一行都是其它行的恒等排列，且每一列之和都是相等的，那么，我们称这个转移概率矩阵所描述的DMC为弱对称DMC。
eg.给定一个弱对称DMC，其输入字符集为{0,1}（注意，这个地方在【2】中错写为{0,1,2}），输出字符集为{0,1,2}，其转移概率矩阵如下：
如果一个信道的输出符号集为{0,1}，那么我们称这个信道有二元输入，“二元输入的对称无记忆信道”，这就是本文中的算法所研究的对象。我们来简单了解一下它的性质。
Arikan论文（特指《channel polarization……》）的第VI-A节中对“对称的二元离散无记忆信道”的性质进行了详细的说明，参考文献【1】的第II节中对此也有描述。
对于一个无记忆信道W，我们假设它的输入为二进制数，且它是对称的，则有W:X→Y，其中X为输入符号集，X={0,1}；Y为输出符号集，Y任意。根据定义，对于Y，存在一个恒等排列
满足：
i) 
；
ii) 
，对于所有的y∈Y都成立。
为了方便起见，我们将
记为
，并称和y为共轭对。我们假设输出符号集Y为一个有限输出集（这个假设，在将算法推广到具有连续输出符号集的信道中时，会被证明）。
在Arikan论文的第VI-A节中，给出了这样一个定理：
Proposition 13（定理13）：
如果一个B-DMC W是对称的，那么，
和
也是对称的，并且有：
其中运算 “·” 是一种速记。我们简记x·y：当x=0时，x·y → y；当x=1时，x·y→
。如同上面的定义，y和
这是一个非常重要的结论，我们将在下面的信道操作中多次使用这个公式来进行计算的化简，请读者留意。
Arikan论文中给出了定理13的证明。
Part3.合并函数
从逻辑顺序角度考虑，我们先来探讨一下合并函数的内容。不过在这之前，我们必须先熟悉一下弱化信道与强化信道，这对于合并函数的介绍是必不可少的。
弱化信道
对于原始信道W：X→Y，对于信道Q：X→Z，若存在一个中间信道P：Y→Z，使得对于所有的x和z都有：
那么，我们写
，指代Q相对于W是弱化的。
强化信道
强化信道的描述与弱化信道类似，实际上，只需要将上式中的W和Q调换位置，就能够得到强化信道的表述：
写
，指代Q'相对于W是强化的。
对合并函数的理解从一个引理开始：
Lemma7：
设W:X→Y为BMS信道，假设y1，y2为输出字符集Y中的符号。对于信道Q:X→Z，定义其输出字符集Z为：
则，对于所有的x和z，定义：
那么，有
引理7中，字符集Z中的“”表示“不包含”。
我们可以看到，在这个引理之中，我们放入了一个原始的W信道，得到了一个弱化信道Q。并且从W到Q，信道的输出字符集的大小发生了改变，Q字符集大小比W小2。因此，从这一点来看，我们可以通过引理 7同时得到一个弱化的、具有更小字符集的BMS信道。
引理7的证明并不难。我们只需要对中间信道P进行巧妙的定义：
对于中间信道P:Y→Z，从Y到Z的映射关系为：
和
以100%的概率映射为
，
和
以100%的概率映射为
，其余的符号一一映射为自身。
显然，这样的中间信道是存在的，根据前面的描述，Q是W的弱化信道。
得证。
合并函数是用来解决因Arikan信道合并迭代公式造成的信道输出字符集爆炸增长的有力工具。根据引理7，对于一个具有v大小输出字符集的原始信道W，通过合并一对符号（及其共轭符号）的操作，我们每次都能使信道的输出字符集大小减2。通过多次调用这一操作，我们能够将W的输出字符集大小降到任意的大小μ。在【1】中，μ也用来表示“保真度”，一般来说，μ越大，合并函数的调用次数越少，系统性能越好，相应输出字符集也就越大，极化码构造算法的计算复杂度也就越高。
现在，我们有了合并函数这个有力的工具，但是要应用它，还有一个问题需要解决。在每一次的合并操作中，我们应该合并哪两个符号，是在输出符号集中随意挑选吗？还是需要遵循一定的原则？
【1】中的定理8对此进行了限定。
Theorem8
对于BMS信道W:X→Y，输出字符集Y有m个元素，假设有：
1 ≤ LR(y1) ≤ LR(y2) ≤ ······ ≤ LR(ym)
对于Y中任意两个符号a,b，设I(a,b)为合并后信道容量的大小。则，对于 1 ≤ i ≤ j ≤ k ≤ m，有：
定理8中，LR(y)表示似然判决下，y符号的最大似然值。通过定理8，我们可以发现，对相邻两个符号进行合并后所得到的信道的信道容量，总是大于非相邻符号的合并结果。这一定理指导我们在每一次合并时，都选择相邻符号进行合并。定理8的证明在【1】的附录中给出。
为此，我们对W信道的输出符号集Y按照最大似然值排序。假设输出符号集Y大小为2L，包含L个共轭对。
注意到定理8中的似然值排序，有隐含条件LR≥1。
似然值定义为：
根据对称信道的定义：
，可以得到，对于
有：
同样，对于
有：
因此，对于共轭对
，1 ≤ i ≤ L ，二者必定有一个满足似然值大于等于1。我们挑选出这个符号作为这对共轭对的代表，参与似然值的排序，最终得到：
当我们将相邻两个符号 yi 和 yi+1 合并为 z 后，有：
除此之外，为了在合并操作的过程中，尽可能少的损失信道容量，我们倾向于选择合并前后信道容量变化最小的那一对相邻元素。因此，在对输出符号集按照似然值排序之后，我们在合并之前还要做的一项工作就是，寻找信道亏损最小的相邻元素。我们设
为合并前后信道的亏损，并以此为挑选合并相邻元素的依据。
遵循【1】中的符号命名规则，我们设 a，b，a'，b'，分别表示：
定义
其中：
这样，合并之前，我们通过计算所有相邻元素合并后信道容量的亏损，找到亏损值最小的那一对相邻元素就可以了。
【1】第V节中对这部分内容的介绍十分详细，给出了包括合并函数中诸如堆栈、链表、指针的相关数据结构概念的介绍，并简述了合并函数的算法实现，思路非常清晰，可作为编程参考。
以上对合并函数的介绍，仅仅针对信道弱化操作展开。合并还可以通过信道强化操作，这部分内容稍微复杂一些，我无法表述清楚，请读者自行探索。
下一节中，我们将着重介绍信道弱化与信道强化操作，如果篇幅允许，我们将探索二元高斯信道下tal-vardy算法的应用。