微分方程 ： dv切 = v切 cos dθ - v径 sin dθ - v切
这是 二体问题 的 一个 微分方程， 也可以说是 一体问题 的 一个 微分方程 。 二体问题 可以通过 约化质量 简化为 一体问题 ， 一体问题 又称 理想公转问题， 指 一个 质点 在 万有引力 作用下 围绕 另一个 “固定” 质点 的 运动 。
“固定” 的 质点 表示 该 质点 为 惯性系， 不受 运动质点 的 引力 影响 。
这个 微分方程 表示 运动质点 的 线速度 的 变化规律 。 以 固定质点 为 原点 建立 极坐标系， 线速度 就是 运动质点 的 切向速度， 即 与 极径 ρ 垂直 的 方向 的 速度 。
方程中 v切 表示 运动质点 的 切向速度， v径 表示 径向速度， 即 极径 ρ 方向 上的 速度 。 dv切 是 v切 微分， dθ 是 极角 θ 微分 。
方程原理 ： 在 时间 t 时， 运动质点 的 位置 是 ( ρ , θ ) ， 当 经过 dt 时， 运动质点 的 θ 发生了 dθ 的 改变， 由此导致 原来 的 v切 不再和 ρ 正交， v径 也 偏离了 ρ 方向， 这样， 就导致 切向速度 发生了变化，
新的 v切 = v切 cos dθ - v径 sin dθ ，
dv切 = 新的 v切 - v切 = v切 cos dθ - v径 sin dθ - v切 ，
即 dv切 = v切 cos dθ - v径 sin dθ - v切 (1) 式
因为 运动质点 和 固定质点 间 的 引力 始终在 ρ 方向 ， 所以 引力 不直接影响 v切， 所以， v切 变化规律 可以由 (1) 式 描述， (1) 式 就是 线速度 的 微分方程 。
在 (1) 式 方程 中， v切 v径 都是 变量， 但是 v径 在 方程中 没有 微分意义， 可以看作 常量， 即 解 这个 微分方程 时， 可以把 v径 看作 常量 。
这样说的话， 这个方程 可以算是一个 偏微分 方程 …… ， 但是 简单点， 还是当作一个 常微分方程 就可以了， 把 v径 看作 常量 就行 。
还有一个原因 是 我不喜欢 偏导数 。 ……
可以把 v切 写作 ρ * dθ / dt ， 这样可以 引入 时间微分 dt ， 看会不会有助于 解方程 。
这样的话 ， dv切 就是 ρ * d ( dθ / dt ) ， 切线方向加速度 a切 = dv切 / dt = ρ * d²θ / dt² 。
教科书 上 的 二体问题 解法 是 以 角动量守恒 为 前提， 推出 开普勒第一定律， 即 运动质点 的 轨迹 是 椭圆， 再结合 万有引力 机械能守恒 微积分方法 来 求出 二体运动方程 。
本文 的 意图 是 不考虑 角动量守恒， 从 运动规律 入手， 先 解出 线速度 变化规律， 再结合 万有引力 机械能守恒 微积分方法 来 求出 二体运动方程 。
线速度 变化规律 应该是 二体问题 的 一个 突破口， 当然， 先得把 方程 解出来 。
其实 上面说的 v径 没有 微分意义， 可以看作 常量 来 解方程 是 不对 的 ， 哈哈哈哈 。 v径 是 时间 t 的 函数， 是 变量， 是 和 时间微分 dt 有关 的 量， 不能看作 常量 来 解方程 。 进一步， 经过 dθ 时， v径 和 v切 之间 相互影响， 一起变化 。
本文 又名 《一体 线速度 方程》 ， 或者 《二体 线速度 方程》 。