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积性函数的性质
前面我们已经提到过了，积性函数，即为满足条件 (forall a,bin Z_+,gcd(a,b)=1Leftrightarrow oldsymbol f(a)oldsymbol f(b)=oldsymbol f(ab)) 的函数 (oldsymbol f)
特别地，对于 (forall a,bin Z_+,oldsymbol f(a)oldsymbol f(b)=oldsymbol f(ab)) 的函数 (oldsymbol f) 我们称为完全积性函数
当然，有积性函数就对应的一定有加性函数：对于 (forall a,bin Z_+,gcd(a,b)=1Leftrightarrow f(a)+f(b)=f(ab))
对应的，如果不需要满足 (gcd(a,b)=1) 称为完全加性函数
很显然，对于常数 (C(n)) 和加性函数 (alpha(n)) ，显然 (C^alpha(n)) 函数为积性函数；若 (alpha(n)) 为完全加性函数，则 (C^alpha(n)) 函数为完全积性函数
显然，根据上述结论，显然积性函数 (displaystyle oldsymbol f(prod_{i=1}^np_i^{k_i})=prod_{i=1}^noldsymbol f(p_i^{k_i}))
额外的，完全积性函数还能推出 (displaystyle oldsymbol f(prod_{i=1}^np_i^{k_i})=prod_{i=1}^noldsymbol f(p_i)^{k_i})
同理，推得加性函数 (f(n)) 满足 (displaystyle f(prod_{i=1}^np_i^{k_i})=sum_{i=1}^nf(p_i^{k_i})) ，完全加性函数 (displaystyle f(prod_{i=1}^np_i^{k_i})=sum_{i=1}^nf(p_i^{k_i})=sum_{i=1}^n(k_icdot f(p_i) ))
额外的，还有积性函数 (egin{cases} oldsymbol f(1)=oldsymbol f(1 imes 1)=oldsymbol f(1)cdot oldsymbol f(1) \ \ oldsymbol f(p_i)=oldsymbol f(p_icdot 1)=oldsymbol f(p_i)cdot oldsymbol f(1) end{cases} Rightarrow oldsymbol f(1)=1)
加性函数则 (egin{cases} f(1)=f(1 imes 1)=f(1)+f(1) \ \ f(p_i)=f(p_icdot 1)=f(p_i)+f(1) end{cases} Rightarrow f(1)=0)
常见积性函数
常见加性函数包括：
(displaystyle Omega(n)=sum_{pin Prime}sum_{p^kmid n}1) 即总的质因子数
(displaystyle omega(n)=sum_{pin Prime}[pmid n]) 即互异的质因子数
(displaystyle a_0(n)=sum_{pin Prime}sum_{p^kmid n}p) 即总的质因子和
(displaystyle a_1(n)=sum_{pin Prime}[pmid n]p) 即互异的质因子和
常见的积性函数包括：
幂函数 (oldsymbol{id}^k(n)=n^k,oldsymbol I(n)=oldsymbol {id}^0(n),oldsymbol{id}(n)=oldsymbol{id}^1(n))
(oldsymbol I(n)) 又称为恒等函数
除数和函数 (displaystyle oldsymbol sigma_k(n)=sum_{dmid n}d^k,oldsymbol d(n)=oldsymbol sigma(n)=oldsymbol sigma_1(n))
欧拉函数 (displaystyle oldsymbol varphi(n)=sum_{i=1}^{n-1}[gcd(i,n)=1])
(k) 固定的最大公因数 (gcd(n,k))
刘维尔函数 (oldsymbol lambda(n)=(-1)^{Omega(n)})
(oldsymbol gamma(n)=(-1)^{omega(n)})
元函数 (oldsymbol varepsilon(n)=oldsymbol e(n)=[n=1])
莫比乌斯函数 (displaystyle oldsymbol mu(n)=prod_{pin Prime}[p^2 mid n](-1)^{[pmid n]}) 。即，如果总共的 (k) 个质因数，次数都是 (1) ，则函数值取 ((-1)^k) ；否则函数值取 (0)
当然，以及上述说的，对于任意常数 (C(n)) ，和加性函数 (alpha(n)) ，则 (C^alpha(n)) 也是积性
有人莫比乌斯函数爱用这种写法： (oldsymbol mu(n)=egin{cases} 1,n=1 \ \ (-1)^k,displaystyle n=prod_{i=1}^kp_i \ \ 0, ext{others} end{cases})
加性函数、积性函数的证明
除了 (oldsymbol sigma_k(n)) 与 (oldsymbol varphi(n)) 的积性已经在前面的文章中证明。现在对其它的进行证明。
首先，证明加性需要先证明 (1) 处取值为 (0) ；积性需证明 (1) 处取值为 (1)
证明加性或积性，则要保证 (gcd(n,m)=1) 时可分离
而如果证明完全加性或积性，只需要证明 (n imes p_i) 可分离即可。因为证明 (n imes m) 可分离可通过将 (m) 质因数分解，然后动用前面的正确性合并。
加性函数积性函数的互转
对于符合条件的 (a,b) ；即若为完全积性函数则 (a,bin Z_+)，为非完全的则额外加上 (gcd(a,b)=1)
再有加性函数 (alpha(n))
显然有 (C^alpha(ab)=C^{alpha(ab)}=C^{alpha(a)+alpha(b)}=C^{alpha(a)}cdot C^{alpha(b)}=C^alpha(a)cdot C^alpha(b))
且 (C^alpha(1)=C^{alpha(1)}=C^0=1)
(Omega(n)) 完全加性的证明
(displaystyle Omega(1)=sum_{pin Prime}sum_{p^kmid 1}1=0)
(displaystyle Omega(n imes p_i)=sum_{pin Prime}sum_{p^kmid n imes p_i}1=(sum_{pin Primewedge p eq p_i}sum_{p^kmid n imes p_i}1)+(sum_{p_i^kmid n imes p_i}1)=(sum_{pin Primewedge p eq p_i}sum_{p^kmid n}1)+(sum_{p_i^kmid n}1)+1=sum_{pin Prime}sum_{p^kmid n}1+1=Omega(n)+Omega(p_i))
(omega(n)) 加性的证明
(displaystyle omega(1)=sum_{pin Prime}[pmid 1]=0)
当 (gcd(n,m)=1) 时
(displaystyle omega(n imes m)=sum_{pin Prime}[pmid n imes m]=sum_{pin Prime}[pmid n]+sum_{pin Prime}[pmid m]=omega(n)+omega(m))
(a_0(n)) 完全加性的证明
(displaystyle a_0(1)=sum_{pin Prime}sum_{p^kmid 1}p=0)
(displaystyle a_0(n imes p_i)=sum_{pin Prime}sum_{p^kmid n imes p_i}p=sum_{pin Primewedge p eq p_i}sum_{p^kmid n imes p_i}p+sum_{p_i^kmid n imes p_i}p_i=sum_{pin Primewedge p eq p_i}sum_{p^kmid n}p+sum_{p_i^kmid n}p_i+p_i=sum_{pin Prime}sum_{p^kmid n}p+p_i=a_0(n)+a_0(p_i))
(a_1(n)) 加性的证明
(displaystyle a_1(1)=sum_{pin Prime}[pmid 1]p=0)
当 (gcd(n,m)=1) 时
(displaystyle a_1(n imes m)=sum_{pin Prime}[pmid n imes m]p=sum_{pin Prime}[pmid n]p+sum_{pin Prime}[pmid m]p=a_1(n)+a_1(m))
(oldsymbol {id}^k(n)) 完全积性的证明
(displaystyle oldsymbol {id}^k(1)=1^k=1)
(displaystyle oldsymbol {id}^k(n imes p_i)=(n imes p_i)^k=n^k imes p_i^k=oldsymbol {id}^k(n)cdot oldsymbol {id}^k(p_i))
(oldsymbol lambda(n)) 与 (oldsymbol gamma(n)) 的完全积性/积性证明
由于 (oldsymbol lambda(n)=(-1)^{Omega(n)},oldsymbol gamma(n)=(-1)^{omega(n)})
又因为 (Omega(n),omega(n)) 为完全加性/加性函数，((-1)) 为常数
因此原命题得证
(oldsymbol varepsilon(n)) 完全积性的证明
(oldsymbol varepsilon(1)=[1=1]=1)
(oldsymbol varepsilon(n imes p_i)=[n imes p_i=1]=[n=1]cdot[p_i=1]=oldsymbol varepsilon(n)cdot oldsymbolvarepsilon(p_i))
(oldsymbol mu(n)) 积性的证明
(displaystyle oldsymbol mu(1)=prod_{pin Prime}[p^2 mid 1](-1)^{[pmid 1]}=prod_{pin Prime}(-1)^0=1)
当 (gcd(n,m)=1) 时
(displaystyle oldsymbol mu(n imes m)=prod_{pin Prime}[p^2 mid n imes m](-1)^{[pmid n imes m]}=(prod_{pin Prime}[p^2 mid n](-1)^{[pmid n]})cdot(prod_{pin Prime}[p^2 mid m](-1)^{[pmid m]})=oldsymbol mu(n)cdot oldsymbol mu(m))
这里需要考虑到 (n,m) 的质因数不重合，因此分别考虑它们质因数的贡献：个数和是否有质因数次数大于 (1)
(gcd(k,n)) 积性的证明
(gcd(k,1)=1)
当 (gcd(n,m)=1) 时
(gcd(k,nm)=gcd(k,n)cdot gcd(k,m))
同上，考虑到 (n,m) 的质因数不重合，因此分别考虑它们质因数的贡献：次数和 (k) 的取最小值