树状数组
简介
为什么需要树状数组?
举一个简单的例子，有一个数组[ 9 , 3 , 2 , 5 , 7 ],当我们需要计算数组任意X~X+N项元素的和，若采用传统方式，则需要从Ｘ开始一路加到Ｘ＋Ｎ，需要的时间复杂度o(n)。
若要进一步优化我们可以求出含有对应位置前n项和的数组，例如上述数组对应结果为Ｔ[9 , 12 , 14 , 19 , 26],若要再求Ｘ~X+N个元素的和，只需计算Ｔ[X+N] - T[X]即可，但问题是当在数组某个位置重新插入一个元素时，需要将其位置后面的所有元素都更新，时间复杂度仍是Ｏ(N)
这个时候树状数组就出现了，树状数组的插入和查询任意ｎ项和的时间复杂度都是ｏ(log n)
以[1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8]为节点的一颗完整树状数组如下图
树状数组每个节点的父节点为pos += lowbit(i),i<n
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lowbit是指一个整数的二进制表示，从后往前数一直到第一个１所代表的大小
例如 3 = 011 那么３的lowbit即为１
6 ＝0110 那么6的lowbit为 2
关于lowbit有一个很简单的求法那就是( X&~X )
插入或更新元素
当我们需要插入一个元素时，从这个元素开始，依次更新这个节点一直到树根中所有元素
以２号节点元素加上５为例,初始化pos = 2
１．更新２号元素 ３＋５＝８
２．pos＋＝lowbit(2) pos = 4
３．更新４号元素 １０＋５＝１５
４．pos+=lowbit(4) pos = 8
５．更新８号元素 36＋５＝４１
６．８号已到达数组末尾，更新结束
查询
当我们需要查询某位置对应的前ｎ项和，则依次从对应位置开始依次访问直到pos==0
以节点５前ｎ项和为例，先初始化ans＝０，pos = 5
１．ans+=t[pos] pos = 5 ans = 5
２．pos -= lowbit(5) pos = 4 ans = 5
３．ans += t[pos] pos = 4 ans = 15
４．pos -= lowbit(5) pos = 0 ans = 15
前５项和为15