poj1228（稳定凸包+特判最后一条边）

题目链接：https://vjudge.net/problem/POJ-1228

题意：我是真的没看懂题意QAQ。。。搜了才知道。题目给了n个点，问这n个点确定的凸包是否能通过添加点来变成一个新的凸包。也就是这个凸包是否稳定，稳定输出YES，否则输出NO。

思路：
　　首先给出结论，一个凸包稳定当且仅当它的每一条边上都有>=3个点。因为如果只有两个点的话，那么在这条边之外取一个点就能扩展出一个更大的凸包。而每条边上都有>=3个点时，此时扩展时会使得凸包变凹！

　　所以我们需要改一下求凸包的模板，只用将while中的<=改成< 即可，但这不能将最后一条边上的多个点保留 ，因为排序时将距离近的点排在前面 ，那么最后一条边上的点仅有距离最远的会被保留，其余的会被出栈。所以最后一条边需要特判。（网上许多代码没有特判，仅仅只是在判断的时候忽略了最后一条边，然而数据弱，没有卡这个点，所以能AC）。

　　求凸包之后需要判断每条边是不是由>=3个点。可以利用叉积判断点i处和点(i+1)处的夹角是否都不为0来判断，如果都不为0那么边(i , i+1)就不满足条件，因为前面特判了最后一条边(top , 0)，所以这里枚举判断时就不用枚举最后一条边了。

AC code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

const int maxn=1005;
const double PI=acos(-1.0);

struct Point{
    int x,y;
    Point():x(0),y(0){}
    Point(int x,int y):x(x),y(y){}
}list[maxn];
int stack[maxn],top,flag;

//计算叉积p0p1×p0p2
int cross(Point p0,Point p1,Point p2){
    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}
//计算p1p2的距离
double dis(Point p1,Point p2){
    return sqrt((double)(p2.x-p1.x)*(p2.x-p1.x)+(p2.y-p1.y)*(p2.y-p1.y));
}
//极角排序函数，角度相同则距离小的在前面
bool cmp(Point p1,Point p2){
    int tmp=cross(list[0],p1,p2);
    if(tmp>0) return true;
    else if(tmp==0&&dis(list[0],p1)<dis(list[0],p2)) return true;
    else return false;
}
//输入，把最左下角放在list[0]，并且进行极角排序 
void init(int n){
    Point p0;
    scanf("%d%d",&list[0].x,&list[0].y);
    p0.x=list[0].x;
    p0.y=list[0].y;
    int k=0;
    for(int i=1;i<n;++i){
        scanf("%d%d",&list[i].x,&list[i].y);
        if((p0.y>list[i].y)||((p0.y==list[i].y)&&(p0.x>list[i].x))){
            p0.x=list[i].x;
            p0.y=list[i].y;
            k=i;
        }
    }
    list[k]=list[0];
    list[0]=p0;
    sort(list+1,list+n,cmp);
}
//graham扫描法求凸包，凸包顶点存在stack栈中
//从栈底到栈顶一次是逆时针方向排列的
void graham(int n){
    if(n==1){
        top=0;
        stack[0]=0;
        return;
    }
    top=1;
    stack[0]=0;
    stack[1]=1;
    for(int i=2;i<n;++i){
        while(top>0&&cross(list[stack[top-1]],list[stack[top]],list[i])<0) --top;
        stack[++top]=i;
    }    
    if(cross(list[n-2],list[n-1],list[0])!=0)   //特判最后一条边
        flag=0;
}

bool check(){
    for(int i=0;i<top;++i){
        if(cross(list[stack[(i+top)%(top+1)]],list[stack[i]],list[stack[(i+1)%(top+1)]])!=0&&
                cross(list[stack[i]],list[stack[(i+1)%(top+1)]],list[stack[(i+2)%(top+1)]])!=0)
            return false;
    }
    return true;
}

int T,n;

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        flag=1;
        scanf("%d",&n);
        init(n);
        if(n<6){
            printf("NO
");
            continue;
        }
        graham(n);
        if(!flag){
            printf("NO
");
            continue;
        }
        if(check()) printf("YES
");
        else printf("NO
");
    }
    return 0;
}