广义范德蒙德行列式计算

Generalized Vandermonde Matrix

http://10.12.0.10/www.hrpub.org/download/201309/ujam.2013.010209.pdf

柯斯特利金P101习题：

(扎哈洛夫——图拉, 1984)在平稳随机过程模型的研究中,出现了下述行列式:
$$
Delta _nleft( k_1,x_1;...;k_m,x_m ight) =left| egin{array}{c}
M_{k_1}^{n}left( x_1 ight)\
M_{k_2}^{n}left( x_2 ight)\
cdots cdots\
M_{k_m}^{n}left( x_m ight)
end{array} ight|,
$$
其中$x_1.x_2,ldots,x_m$是未知量; $k_1,ldots,k_m$是自然数, $k_1+k_2+cdots+k_m=n$; $M_k^n(x)$是$k imes n$阶矩阵,形如
$$
M_{k}^{n}left( x ight) =left( egin{matrix}
1& x& x^2& cdots& x^{n-1}\
0& 1& inom 21x& cdots& inom{n-1}1x^{n-2}\
0& 0& 1& cdots& inom{n-1}2x^{n-3}\
cdots& cdots& cdots& cdots& cdots\
0& 0& 0& cdots& inom{n-1}{k-1}x^{n-k}
end{matrix} ight).
$$
证明
$$
Delta _nleft( k_1,x_1;...;k_m,x_m ight) =prod_{1leq j<ileq m}{left( x_i-x_j ight) ^{k_ik_j}}.
$$
特别地,当$k_1=cdots=k_m=1$时,即当$m=n$时,得到范德蒙德行列式.

---

证法一.由于$inom nk-inom{n-1}k=inom{n-1}{k-1}$,我们对$Delta_n$进行消法变换,将它的第$i-1$列乘以$-x_m$倍加到第$i$列,其中$i=n,n-1,ldots,2$,则
$$
M_{k_m}^{n}left( x_m ight) ightarrow M_{k_m,1}^{n}left( x_m ight) =left( egin{matrix}
1& 0& 0& cdots& 0\
0& 1& x_m& cdots& x_{m}^{n-2}\
0& 0& 1& cdots& inom{n-2}1x_m^{n-3}\
cdots& cdots& cdots& cdots& cdots\
0& 0& 0& cdots& inom{n-2}{k_m-2}x_m^{n-k_m}
end{matrix} ight),
$$
而
egin{align*}
M_{k_i}^{n}left( x_i ight) & ightarrow M_{k_i,1}^{n}left( x_i ight)\
&=left( egin{matrix}
1& x_i-x_m& x_{i}^{2}-x_{m}x_i& cdots& x_{i}^{n-1}-x_mx_{i}^{n-2}\
0& 1& inom 21x_i-inom 11x_m& cdots& inom{n-1}1x_{i}^{n-2}-inom{n-2}1x_mx_{i}^{n-3}\
0& 0& 1& cdots& inom{n-1}2x_{i}^{n-3}-inom{n-2}2x_mx_{i}^{n-4}\
cdots& cdots& cdots& cdots& cdots\
0& 0& 0& cdots& inom{n-1}{k_i-1}x_{i}^{n-k_i}-inom{n-2}{k_i-1}x_mx_{i}^{n-k_i-1}
end{matrix} ight).
end{align*}

按$M_{k_m,1}^{n}left( x_m ight)$的第一行展开,并$M_{k_i,1}^{n}left( x_i ight)$第一行中提取$x_i-x_m$,在我们有
egin{align*}
M_{k_m,1}^{n}left( x_m ight) ightarrow M_{k_m,2}^{n}left( x_m ight)=left( egin{matrix}
1& x_m& x_{m}^{2}& cdots& x_{m}^{n-2}\
0& 1& inom 21x_m& cdots& inom{n-2}1x_{m}^{n-3}\
0& 0& 1& cdots& inom{n-2}2x_{m}^{n-4}\
cdots& cdots& cdots& cdots& cdots\
0& 0& 0& cdots& inom{n-2}{k_m-2}x_{m}^{n-k_m}
end{matrix} ight).
end{align*}
而
egin{align*}M_{k_i,1}^{n}left( x_i ight) & ightarrow M_{k_i,2}^{n}left( x_i ight)\ &=left( egin{matrix}
1& x_i& x_{i}^{2}& cdots& x_{i}^{n-2}\
1& inom 21x_i-inom 11x_m& inom 31x_{i}^{2}-inom 21x_mx_i& cdots& inom{n-1}1x_{i}^{n-2}-inom{n-2}1x_mx_{i}^{n-3}\
0& 1& inom 32x_{i}-inom 22x_m& cdots& inom{n-1}2x_{i}^{n-3}-inom{n-2}2x_mx_{i}^{n-4}\
cdots& cdots& cdots& cdots& cdots\
0& 0& 0& cdots& inom{n-1}{k_i-1}x_{i}^{n-k_i}-inom{n-2}{k_i-1}x_mx_{i}^{n-k_i-1}
end{matrix} ight).end{align*}
再次利用$inom nk-inom{n-1}k=inom{n-1}{k-1}$,将新行列式的第$i-1$列乘以$-x_m$倍加到第$i$列,其中$i=n,n-1,ldots,2$,则
$$
M_{k_m,2}^{n}left( x_m ight) ightarrow M_{k_m,3}^{n}left( x_m ight) =left( egin{matrix}
1& 0& 0& cdots& 0\
0& 1& x_m& cdots& x_{m}^{n-3}\
0& 0& 1& cdots& inom{n-3}1x_{m}^{n-3}\
cdots& cdots& cdots& cdots& cdots\
0& 0& 0& cdots& inom{n-3}{k_m-3}x_{m}^{n-k_m}
end{matrix} ight),
$$
而
egin{align*}
&M_{k_i,2}^{n}left( x_i ight) ightarrow M_{k_i,3}^{n}left( x_i ight)\
&=left( egin{matrix}
1& x_i-x_m& x_ileft( x_i-x_m ight)& cdots& x_{i}^{n-3}left( x_i-x_m ight)\
1& inom 21left( x_i-x_m ight)& left( inom 31 x_i-x_m ight) left( x_i-x_m ight)& cdots& left( inom{n-1}1x_i-inom{n-3}1x_m ight) left( x_i-x_m ight) x_{i}^{n-4}\
0& 1& inom 32x_i-2inom 22x_m& cdots& inom{n-1}2x_{i}^{n-3}-2inom{n-2}2x_mx_{i}^{n-4}+inom{n-3}2x_{m}^{2}x_{i}^{n-5}\
cdots& cdots& cdots& cdots& cdots\
0& 0& 0& cdots& inom{n-1}{k_i-1}x_{i}^{n-k_i}-2inom{n-2}{k_i-1}x_mx_{i}^{n-k_i-1}+inom{n-3}{k_i-1}x_{m}^{2}x_{i}^{n-k_i-2}
end{matrix} ight).
end{align*}
按$M_{k_m,1}^{n}left( x_m ight)$的第一行展开,并$M_{k_i,1}^{n}left( x_i ight)$第一行,第二行中提取$x_i-x_m$,在我们有
$$
M_{k_m,3}^{n}left( x_m ight) ightarrow M_{k_m,4}^{n}left( x_m ight) =left( egin{matrix}
1& x_m& x_m^2& cdots& x_{m}^{n-3}\
0& 1& inom 21x_m& cdots& inom{n-3}1x_{m}^{n-4}\
0& 0& 1& cdots& inom{n-3}2x_{m}^{n-5}\
cdots& cdots& cdots& cdots& cdots\
0& 0& 0& cdots& inom{n-3}{k_m-3}x_{m}^{n-k_m}
end{matrix} ight),
$$
而
egin{align*}
&M_{k_i,2}^{n}left( x_i ight) ightarrow M_{k_i,3}^{n}left( x_i ight)\
&=left( egin{matrix}
1& x_i& x_i^2& cdots& x_{i}^{n-3}\
inom 21& left( inom 31 x_i-x_m ight) & left( inom 41 x_i-inom 21 x_m ight) x_i& cdots& left( inom{n-1}1x_i-inom{n-3}1x_m ight) x_{i}^{n-4}\
1& inom 32x_i-2inom 22x_m & inom 42x_{i}^2-2inom{3}2x_mx_{i}+inom{2}2x_{m}^{2} & cdots& inom{n-1}2x_{i}^{n-3}-2inom{n-2}2x_mx_{i}^{n-4}+inom{n-3}2x_{m}^{2}x_{i}^{n-5}\
cdots& cdots& cdots& cdots& cdots\
0& 0& 0& cdots& inom{n-1}{k_i-1}x_{i}^{n-k_i}-2inom{n-2}{k_i-1}x_mx_{i}^{n-k_i-1}+inom{n-3}{k_i-1}x_{m}^{2}x_{i}^{n-k_i-2}
end{matrix} ight).
end{align*}
类似地进行下去,我们得到
$$
Delta _nleft( k_1,x_1;...;k_m,x_m ight) =prod_{j=1}^{m-1}{left( x_m-x_j ight) ^{k_mk_j}}Delta _{n-k_m}left( k_1,x_1;...;k_{m-1},x_{m-1} ight),
$$
因此
$$
Delta _nleft( k_1,x_1;...;k_m,x_m ight) =prod_{1leq j<ileq m}{left( x_i-x_j ight) ^{k_ik_j}}.
$$

证法二：参考普丰山，陈军《广义范德蒙行列式及其应用》.