UVA 6177 The King's Ups and Downs DP

orz想了好久好久的排列组合，未果，考虑不全……DP好难啊233333

题目链接戳这里

抛开整体不考虑，我们来考虑一下第i位（k）的插入问题：

第i位>第i-1位时，插入条件为第i-1位<第i-2位

第i位<第i-1位时，插入条件为第i-1位>第i-2位

设f[i][j]为排列的第i位为j，而且i-1位比j矮

设g[i][j]为排列的第i位位j，而且i-1位比j高

    ans[i]为i个人的排列情况

那么，f[i][j]=∑f[i-1][k] (k为1~j-1,即第i-1位为小于j的k,f[i-1][k]求和)

           g[i][j]=∑g[i-1][k] (同理，k为j+1~n,即第i-1位为大于j的k，g[i-1][k]求和)

从上面的假设可以得到，ans[i]=∑f[i-1][p]+∑g[i-1][q] 

                                        其中，p∈[i+1,n],q∈[1,i-1]

                  

然后……有一个很神奇的现象？

                1324, 2143, 3142, 2314, 3412, 4231, 4132, 2413, 3241, 1423   

比如样例，可以发现，f[4][1]=f[4][4],f[4][2]=f[4][3],

                                    f[4][1]=g[4][4],f[4][2]=g[4][3],f[4][3]=g[4][2],f[4][4]=g[4][1]

   f[i][j]=f[i][i-j+1]

   g[i][j]=f[i][i-j+1]

也就是说，f[i][j]和g[i][j]是相等的，感觉，，，毕竟排列情况关于中间位置是对称的

                   ans[i]=2*∑f[i-1][j]     其中，j∈[1,i-1]

 /*      f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j-2]+...+f[i-1][1]

                =f[i-1][i-j+1]+f[i-1][i-j+2]+...+f[i-1][i-1]

                        f[i][j-1]=f[i-1]][i-j+2]+...+f[i-1][i-1]*/

所以，f[i][j]=f[i-1][i-j+1]+f[i][j-1]       -----这里对应的是开始的两个为递增的情况

          另外g[i][j]同理，又可知g[i][j]=f[i][j]，ans[i]=2*∑f[i][j]  (j为[1,i])

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX= 13e5;
int t,n,m; 
ll dp[25][25];
ll ans[25];
void init()
{
    memset(ans,0,sizeof(ans));
    dp[1][1]=1;
    ans[1]=1;
    for(int i=2;i<25;i++)
     for(int j=2;j<=i;j++)
     {
      dp[i][j]=dp[i-1][i-j+1]+dp[i][j-1];
      ans[i]+=dp[i][j]*2;
     }
}
int main()
{
    cin>>t;
    init();
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m;
        cout<<n<<" "<<ans[m]<<endl;
    }
    return 0;
 }