一、问题描述
一元n次多项式是代数学中经常出现的代数式,对于一元n次多项式的操作有很重要的实际意义。由于一个一元n次多项式最多有n+1项,且互不相关,所以可以用一个线性表来保存一个多项式,从前至后次数递增。对于一个一元n次多项式,我们可以定义操作:多项式的加法、减法、乘法。
本次小作业采用了链式表示的线性表实现,且只实现了多项式的加法。我认为如果要实现多项式的乘法,顺序表示的线性表更合适。
二、数据结构——线性表
1、链式表示:
链式表示的线性表,每个单位元由数据域和指针域组成,数据域保存当前结点的数值,而指针域保存的是下一个逻辑位置的地址,以便于通过这个指针访问下一个结点。与顺序表示相比,链式表示具有插入、删除灵活方便的特点,然而访问不方便,只能够从头指针处遍历。
2、顺序表示:
顺序表示的线性表,用一段物理存储上连续的空间模拟线性表,以物理上的位置的顺序关系,表示逻辑上的顺序关系。由于其物理地址的相近,所以在访问方便的同时,出现了两个麻烦:一是当一次申请的空间不够时,只能重新申请一段更大的空间,把之前的所有数据按顺序“搬”过去,否则无法保证其物理顺序的连续性;二是当线性表需要插入、删除操作时,需要对一部分数据进行“移位”操作,时间复杂度高。
3、基于本小作业对两种表示的对比分析:
此次作业是要求做两个一元n次多项式的加法,抽象到ADT上来看,就是两个线性表的分项加法,所以不涉及到结点的插入、删除操作,于是链式表示的优势被削弱,而顺序表示的劣势不那么明显了。相比较而言,两者的实现没什么区别,所以我选择了链式表示来实现。
更多地来想,如果需要做多项式的乘法,那么顺序表示就比链式表示的优势要大了。多项式乘法的算法核心可以大致说明为:LC(i+j-1) += LA(i)*LB(j)。这里涉及到寻找i+j-1位置的LC的值并进行修改的操作,如果使用顺序表示更方便找到该位置。
三、算法的设计及实现
(1)建立线性表LA和LB,并读入数据。
(2)将LB中的每一项按顺序逐项加到LA中对应的项。
(3)如果LB比LA长,则把LB中剩余元素按顺序依次加到LA中。
(4)最后得到的LA就是最终结果。
四、预期结果和实验中的问题
1、预期结果:
输入两个一元n次多项式的各项系数后,按照次数递增分别保存在LA和LB中,然后将LB中的每一项对应加在LA中。
如LA={1,2,3,4,5,6}表示fa(x)=1+2*x+3*x^2+4*x^3+5*x^4+6*x^5,LB={2,2,3}表示fb(x)=2+2*x+3*x^2,则得到的结果应该是{3,4,6,4,5,6}表示fa(x)+fb(x)=3+4*x+6*x^2+4*x^3+5*x^4+6*x^5。
2、实验中的问题:
除去线性表实现的一些细节问题以外,还有针对此次小作业的问题。
上面有提到的是,如果要实现多项式的乘法,若使用顺序表示的线性表,则可以直接遍历LA和LB,每一个合法位置执行LC(i+j-1) += LA(i)*LB(j)就可以了;而假如要使用链式表示的线性表来实现,如果继续按照顺序表示的方式来遍历LA和LB,这样处理LC的位置在不停地变动,查找该位置时间开销很大,所以可以选择遍历i+j-1的值,对于一个固定的i+j-1,通过遍历i求出j的值来计算LC(i+j-1)的值。
我也思考了多项式除法的问题,发现涉及到数论的一些结论,类似于高精度数除以高精度数,还没有比较好的处理方式。当然,带余除法是可以用LA一直减去LB直到0<LA<LB为止。
附:c++源代码:
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 4 using namespace std; 5 6 struct node 7 { 8 int Num; 9 node *next; 10 }; 11 12 class MyList 13 { 14 private: 15 int Len; 16 node *pHead; 17 18 public: 19 void InitList()//构造一个空的线性表 20 { 21 Len = 0; 22 pHead = NULL; 23 } 24 void ClearList()//重置为空表 25 { 26 node *Tmp; 27 while(pHead) 28 { 29 Tmp = pHead; 30 pHead = pHead -> next; 31 delete Tmp; 32 } 33 Len = 0; 34 } 35 bool ListEmpty()//判断L是否为空表 36 { 37 return pHead == NULL; 38 } 39 int ListLength()//返回L中数据元素个数 40 { 41 return Len; 42 } 43 bool GetElem(int Pos, int &e)//返回第Pos个元素,出错返回true 44 { 45 if(Pos < 1 || Pos > Len) 46 { 47 printf("Wrong position! "); 48 return true; 49 } 50 node *Cur = pHead; 51 int Index = 0; 52 while(++Index < Pos && Cur) 53 Cur = Cur -> next; 54 e = Cur -> Num; 55 return false; 56 } 57 //LocateElem(L, e, compare())//返回L中第一个与e满足关系compare()的元素的位序,不存在返回0 58 bool PriorElem(int e, int &Pre_e)//若e是L中的元素,返回e的前躯,失败时返回true 59 { 60 if(pHead -> Num == e) 61 { 62 printf("Cannot find the precursor! "); 63 return true; 64 } 65 node *Cur = pHead, *Prev; 66 while(Cur) 67 { 68 if(Cur -> Num == e) 69 break; 70 Prev = Cur; 71 Cur = Cur -> next; 72 } 73 if(!Cur) 74 { 75 printf("Cannot find the element! "); 76 return true; 77 } 78 Pre_e = Prev -> Num; 79 return false; 80 } 81 bool NextElem(int e, int &Next_e)//若e是L中的元素,返回e的后继,错误时返回true 82 { 83 node *Cur = pHead; 84 while(Cur) 85 { 86 if(Cur -> Num == e) 87 break; 88 Cur = Cur -> next; 89 } 90 if(!Cur) 91 { 92 printf("Cannot find the element! "); 93 return true; 94 } 95 Cur = Cur -> next; 96 if(!Cur) 97 { 98 printf("Cannot find the successor! "); 99 return true; 100 } 101 Next_e = Cur -> Num; 102 return false; 103 } 104 bool ListInsert(int Pos, int e)//在Pos位置插入元素e,失败时返回true 105 { 106 if(Pos < 1 || Pos > Len + 1) 107 { 108 printf("Wrong position! "); 109 return true; 110 } 111 node *InsElem = new node; 112 if(Pos == 1) 113 { 114 InsElem -> next = pHead; 115 pHead = InsElem; 116 InsElem -> Num = e; 117 } 118 else 119 { 120 node *Cur = pHead; 121 int Index = 0; 122 while(++Index + 1 < Pos && Cur) 123 Cur = Cur -> next; 124 InsElem -> next = Cur -> next; 125 Cur -> next = InsElem; 126 InsElem -> Num = e; 127 } 128 Len++; 129 return false; 130 } 131 bool ListDelete(int Pos, int &e)//删除Pos位置的元素,用e返回,错误时返回true 132 { 133 if(Pos < 1 || Pos > Len) 134 { 135 printf("Wrong position! "); 136 return true; 137 } 138 node *DelElem = pHead; 139 if(Pos == 1) 140 { 141 pHead = DelElem -> next; 142 e = DelElem -> Num; 143 delete DelElem; 144 } 145 else 146 { 147 node *Prev; 148 int Index = 0; 149 while(++Index < Pos && DelElem) 150 { 151 Prev = DelElem; 152 DelElem = DelElem -> next; 153 } 154 Prev -> next = DelElem -> next; 155 e = DelElem -> Num; 156 delete DelElem; 157 } 158 Len--; 159 return false; 160 } 161 //ListTraverse(L, visit())//依次对L中的每个数据元素调用函数visit(),一旦visit()失败,则操作失败 162 void PrintList() 163 { 164 if(ListEmpty()) 165 { 166 printf("The List is empty! "); 167 return ; 168 } 169 node *Cur = pHead; 170 int Index = 0; 171 while(++Index < Len && Cur) 172 { 173 printf("%d ",Cur -> Num); 174 Cur = Cur -> next; 175 } 176 printf("%d ",Cur -> Num); 177 } 178 bool ElemPrio(node a, node b) 179 { 180 return a.Num < b.Num; 181 } 182 bool ChangeElem(int Pos, int El) //把Pos位置元素的值改为El,失败返回true 183 { 184 if(Pos < 1 || Pos > Len) 185 { 186 printf("Wrong position! "); 187 return true; 188 } 189 node *Cur = pHead; 190 int Index = 0; 191 while(++Index < Pos && Cur) 192 Cur = Cur -> next; 193 Cur -> Num = El; 194 return false; 195 } 196 void MergeList(MyList Lb) //把Lb插入L中 197 { 198 int aElem, bElem, aIndex = 0; 199 while(aIndex < Len && (!Lb.ListEmpty())) 200 { 201 GetElem(++aIndex, aElem); 202 Lb.GetElem(1, bElem); 203 if(aElem > bElem) 204 { 205 Lb.ListDelete(1, bElem); 206 ListInsert(aIndex, bElem); 207 } 208 } 209 while(!Lb.ListEmpty()) 210 { 211 Lb.ListDelete(1, bElem); 212 ListInsert(Len + 1, bElem); 213 } 214 } 215 void AddList(MyList Lb) //按项加法,把Lb往L中加 216 { 217 if(Lb.ListEmpty()) 218 return ; 219 int bElem; 220 node *Cur = pHead; 221 while(Cur && (!Lb.ListEmpty())) 222 { 223 Lb.ListDelete(1, bElem); 224 Cur -> Num += bElem; 225 Cur = Cur -> next; 226 } 227 while(!Lb.ListEmpty()) 228 { 229 Lb.ListDelete(1, bElem); 230 ListInsert(Len, bElem); 231 } 232 } 233 void PrintList_ForPolynomial() 234 { 235 if(ListEmpty()) 236 { 237 printf("There is something wrong! "); 238 return ; 239 } 240 node *Cur = pHead; 241 int Index = 0; 242 while(++Index < Len && Cur) 243 { 244 if(Index == 1) 245 printf("%d + ", Cur -> Num); 246 else if(Index == 2) 247 printf("%d * x + ", Cur -> Num); 248 else 249 printf("%d * x^%d + ", Cur -> Num, Index - 1); 250 Cur = Cur -> next; 251 } 252 if(Index == 1) 253 printf("%d ", Cur -> Num); 254 else if(Index == 2) 255 printf("%d * x ", Cur -> Num); 256 else 257 printf("%d * x^%d ", Cur -> Num, Index - 1); 258 } 259 }; 260 261 void Read(MyList &L) 262 { 263 int n, i, Elem; 264 L.InitList(); 265 printf("Please input a number n. "); 266 scanf("%d", &n); 267 printf("Please input n+1 numbers means a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n. "); 268 for(i = 1; i <= n + 1; i++) 269 { 270 scanf("%d", &Elem); 271 L.ListInsert(i, Elem); 272 } 273 } 274 275 int main() 276 { 277 MyList La, Lb; 278 Read(La); 279 Read(Lb); 280 printf("La(x) = "); 281 La.PrintList_ForPolynomial(); 282 printf("Lb(x) = "); 283 Lb.PrintList_ForPolynomial(); 284 La.AddList(Lb); 285 printf("La(x) + Lb(x) = "); 286 La.PrintList_ForPolynomial(); 287 return 0; 288 }