约瑟夫环

关于约瑟夫环问题，无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1

解x'    ----> 解为x

注意<x’就是最终的解>

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！下面举例说明：

 

假设现在是6个人（编号从0到5）报数，报到（2-1）的退出，即<m=2>。那么第一次编号为1的人退出圈子，从他之后的人开始算起，序列变为2,3,4,5,0，即问题变成了这5个人报数的问题，将序号做一下转换：

2 -->0

3 -->1

4 -->2

5 -->3

0 -->4

现在假设x为0,1,2,3,4的解，x'设为那么原问题的解（这里注意，2,3,4,5,0的解就是0,1,2,3,4,5的解，因为1出去了，结果还是一个），根据观察发现，x与x'关系为x'=(x+m)%n，因此只要求出x，就可以求x'。x怎么求出呢？继续推导吧。0,1,2,3,4,，同样是第二个1出列，变为（2,3,4,0），转换下为

2 -->0

3 -->1

4 -->2

0 -->3

很简单，同样的道理，公式又出来了，x=(x''+m)%5，这里变成5了。即求n-1个人的问题就是找出n-2的人的解，n-2就是要找出n-3，等等

因此，就可以回去看上面的推导过程了。

 

好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

 1 #include <stdio.h>
 2 int main()
 3 {
 4     int n, m, i, s = 0;
 5     printf ("N M = ");
 6     scanf("%d%d", &n, &m);
 7     for (i = 2; i <= n; i++)
 8     {
 9         s = (s + m) % i;
10     }
11     printf (" The winner is %d ", s+1);
12 }

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

相比之下，解法二的优越性不言而喻，同时说明数学确实很重要。

在问题的基础上再演变一下，如果是n 个人(编号 1...n),先去掉第 m 个数,然后从 m+1 个开始报 1,报到 k 的退出,剩下的人继续从 1 开始报数.求胜利者的编号.  

 

这样的话，其实和原题基本解法是一样的，把去掉第m个数之后第m+1个数看成第一个就可以了，所以需要转换一下，于是程序为：

int main(void){

    int  n, k, m;

    while( scanf("%d%d%d", &n, &k, &m), n || k || m ){

   int  i, d, s=0;

        for( i=2; i <= n; ++i ) s = (s+k)%i;

        k = k%n; if( k == 0 ) k=n;

        d = (s+1) + (m-k);//首先去掉的m可以看成是从m-k+1（较1偏移为m-k）开始报数

        if( d >= 1 && d <= n ) printf("%d ", d);

        else if( d < 1 ) printf("%d ", n+d);

        else if( d > n ) printf("%d ", d%n);

    }

    return 0;

}

转载于:http://blog.163.com/soonhuisky@126/blog/static/157591739201321341221179/