施托尔茨定理

定理描述：

　　若

1. $y_{n+1}>y_n   (n=1,2,cdots)$
2. $limlimits_{n ightarrowinfty}y_n=+infty$
3. $limlimits_{n ightarrowinfty}frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$存在

则 $limlimits_{n ightarrowinfty}frac{x_n}{y_n}=limlimits_{n ightarrowinfty}frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$

证：假定$limlimits_{n ightarrowinfty}frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=a$由此，并注意到$y_n ightarrow +infty$，可知，对于任给的$varepsilon >0$，存在正整数N，使当n>N时恒有

　　$mid frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}-amid <frac{varepsilon}{2} （且y_n>0）$

于是，分数（当n>N时）

　　$frac{x_{N+2}-x_{N+1}}{y_{N+2}-y_{N+1}},frac{x_{N+3}-x_{N+2}}{y_{N+3}-y_{N+2}}cdots ,frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}},frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}$

都包含在$(a-frac{varepsilon}{2},a+frac{varepsilon}{2})$之间（由极限的定义可直接得出），因为$y_{n+1}>y_n$，所以这些分数的分母都是正数，于是，得

　　$(a-frac{varepsilon}{2})(y_{N+2}-y_{N+1})<x_{N+2}-x_{N+1}<(a+frac{varepsilon}{2})(y_{N+2}-y_{N+1})$，
　　$(a-frac{varepsilon}{2})(y_{N+3}-y_{N+2})<x_{N+3}-x_{N+2}<(a+frac{varepsilon}{2})(y_{N+3}-y_{N+2})$，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$vdots$
　　$(a-frac{varepsilon}{2})(y_{n+1}-y_{n})<x_{n+1}-x_{n}<(a+frac{varepsilon}{2})(y_{n+1}-y_{n})$，

相加之，得

　　$(a-frac{varepsilon}{2})(y_{n+1}-y_{N+1})<x_{n+1}-x_{N+1}<(a+frac{varepsilon}{2})(y_{n+1}-y_{N+1})$

即$a-frac{varepsilon}{2}<frac{x_{n+1}-x_{N+1}}{y_{n+1}-y_{N+1}}<a+frac{varepsilon}{2}$，所以当n>N时，恒有$mid frac{x_{n+1}-x_{N+1}}{y_{n+1}-y_{N+1}}-amid <frac{varepsilon}{2}$(注意N是确定的).另外我们有(当n>N时)

　　$frac{x_n}{y_n}-a=frac{x_{N+1}-ay_{N+1}}{y_n}+(1-frac{y_{N+1}}{y_n})(frac{x_{n+1}-x_{N+1}}{y_{n+1}-y_{N+1}}-a)$,

　　故$mid frac{x_n}{y_n}-amid leqmid frac{x_{N+1}-ay_{N+1}}{y_n}mid +frac{varepsilon}{2}$,

现取正整数N'>N，使当n>N'时，恒有

　　$mid frac{x_{N+1}-ay_{N+1}}{y_n}mid <frac{varepsilon}{2}$,

于是，当n>N'时，恒有$mid frac{x_n}{y_n}-amid <varepsilon$.

由此可知，$limlimits_{n ightarrow infty}frac{x_n}{y_n}=a=limlimits_{n ightarrowinfty}frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$.证毕.

注:条件3中换为$limlimits_{n ightarrowinfty}frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=+infty(或-infty)$.，则结论任然成立（也就是极限都不存在）