• cf19E. Fairy(奇环 二分图染色)


    题意

    题目链接

    Sol

    非常有思维含量的一道题,队爷的论文里介绍了一种(N sqrt{N})的暴力然鹅看不懂。。

    看了一下clj的(O(nlogn))的题解,又翻了翻题交记录,发现(O(n))的做法也不是特别难。。

    首先考虑所有两端颜色相同的非树边。直接对它的数量讨论:

    若为(0),那么删哪一条都可以

    若为(1),那么只能删该奇环上的边

    (>1),所有的非树边都不能删(不管怎么删都会有一个奇环),那么考虑所有的树边,一条树边能被删掉当且仅当:所有奇环都经过了这条边 且没有偶环经过了这条边

    那么直接在树上打差分标记即可

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int MAXN = 1e5 + 10;
    inline int read() {
        char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
        while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
        while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
        return x * f;
    } 
    int N, M, Pre[MAXN], even[MAXN], odd[MAXN], col[MAXN], cly, last, ans[MAXN], dep[MAXN];
    struct Edge {
        int u, v, id, nxt;
    }E[MAXN];
    int head[MAXN], num;
    void AddEdge(int x, int y, int id) {
        E[num] = (Edge) {x, y, id, head[x]};
        head[x] = num++;
    }
    void dfs(int x, int fa) {
        col[x] = col[fa] ^ 1; dep[x] = dep[fa] + 1;
        for(int i = head[x]; ~i; i = E[i].nxt) {
            int to = E[i].v;
            if(col[to] == -1) {
                Pre[to] = i; dfs(to, x);
                even[x] += even[to];
                odd[x] += odd[to];
            } else if(dep[to] + 1 < dep[x]){
                if(col[to] == col[x]) last = i, cly++, odd[x]++, odd[to]--;
                else even[x]++, even[to]--;
            }
        }
    }
    int main() {
        memset(head, -1, sizeof(head));
        N = read(); M = read(); 
        for(int i = 1; i <= M; i++) {
            int x = read(), y = read();
            AddEdge(x, y, i); AddEdge(y, x, i);
        }
        memset(col, -1, sizeof(col)); col[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= N; i++) if(col[i] == -1) dfs(i, 0);
        if(cly == 0) {
            printf("%d
    ", M);
            for(int i = 1; i <= M; i++) printf("%d ", i);
            return 0;
        }
        if(cly == 1) ans[E[last].id] = 1;
        for(int i = 1; i <= N; i++) if(odd[i] == cly && !even[i]) ans[E[Pre[i]].id] = 1;
        int cnt = 0;
        for(int i = 1; i <= M; i++) if(ans[i]) cnt++;
        printf("%d
    ", cnt);
        for(int i = 1; i <= M; i++) if(ans[i]) printf("%d
    ", i);
        return 0;
    }
    
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