高等代数6 线性空间
集合
- 集合就是指作为整体看的一堆东西。组成集合的东西称为这个集合的元素。
映射
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设(M,M')是两个集合，集合(M)到集合(M')的一个映射就是指一个法则，它使(M)中的每一个元素(a)都有(M')中一个确定的元素(a')与之对应。如果映射(sigma(a)=a')，(a')称为(a)在映射(sigma)下的像，而(a)称为(a')在映射(sigma)下的一个原像。
(M)到(M)自身的映射，有时也称为(M)到自身的变换。
集合(M)到集合(M')的两个映射(sigma)及( au)，若对(M)的每个元素(a)都有(sigma(a)= au(a))，则称它们相等，记作(sigma= au)。
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单位映射
设(M)是一个集合，定义 ( au(a)=a,ain M)
即(sigma)把每个元素映射到它自身，称为集合(M)的恒等映射或单位映射，记作(1_M)，可以简记为(1)。
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满射 如果(sigma(M)=M')，映射(sigma)就称为满射。
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单射 如果在映射(sigma)下，(M)中不同元素的像也不同，即由(a_1 eq a_2)，一定有(sigma(a_1) eq sigma(a_2))，那么映射(sigma)就称为单射。
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双射 一个映射既是单射又是满射就称为双射，或(1-1)对应。
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逆映射 对于(M)到(M')的双射(sigma)，我们可以定义它的逆映射，记为(sigma^{-1})。
对于映射我们可以定义乘法
设(sigma, au)分别是集合(M)到集合(M')，(M')到(M'')的映射，乘积( ausigma)定义为
即相继执行(sigma、 au)的结果，( ausigma)是(M)到(M'')的映射。
适合结合律 ((psi au)sigma=psi( ausigma))
线性空间
定义
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非空集合 数域(P)上的一个非空集合(V)
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对加法和数乘有封闭性
- 给出一个加法法则，对于(V)中任意两个元素(alpha)与(eta)，在(V)中都有唯一的一个元素(gamma)与它们对应，称为(alpha)与(eta)的和，记作(gamma=alpha+eta)。
- 给出数量乘法运算，对于数域(P)中任一数(k)和(V)中任一元素(alpha)，在(V)中都有唯一的一个元素(delta)与它们对应，称为(k)与(alpha)的数量乘积，记作(delta=kalpha)。
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满足8条规则
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加法满足下面四条规则：
- 加法交换律(alpha+eta=eta+alpha);
- 加法结合律((alpha+eta)+gamma=alpha+(eta+gamma))；
- 零元素 在(V)中有一个元素(0)，对于(V)中任一元素(alpha)都有(0+alpha=alpha)。(0)称为(V)中的零元素。
- 负元素 对于(V)中的每一个元素(alpha)，都有(V)中的元素(eta)，使得(alpha+eta=0),。(eta)称为(alpha)的负元素。
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数量乘法满足下面两条规则：
- 单位元素 (1 alpha=alpha)。
- (k(lalpha)=(kl)alpha)
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数量乘法与加法满足下面两条规则
- ((k+l)alpha=kalpha+lalpha)
- (k(alpha+eta)=kalpha+keta)
在以上规则中(k,l)表示数域(P)中的任意数；(alpha,eta,gamma)表示集合(V)中的任意元素。
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线性空间中的元素也称为向量，线性空间也称为向量空间。
简单性质
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零元素是唯一的。
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负元素是唯一的。
利用负元素，定义减法：(alpha-eta=alpha+(-eta))
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(0alpha=0,k0=0,(-1)alpha=alpha)
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如果(kalpha=0)，那么(k=0或alpha=0)
线性相关与无关
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单个向量(alpha)是线性相关的充分必要条件是(alpha=0)
两个以上向量(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r)线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合。
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如果向量组(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r)线性无关，而且可以被(eta_1,eta_2,cdots,eta_s)线性表出，那么(r leq s)。
两个等价的线性无关的向量组必定含有相同个数的向量。
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如果向量组(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r)线性无关，但向量组(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r,eta)线性相关，那么(eta)可以被(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r)线性表出，而且表示是唯一的。
维度
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如果在线性空间(V)中有(n)个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么(V)就称为是(n)维的。
如果在在线性空间(V)中有任意多个个线性无关的向量，那么(V)就称为是无限维的。
基、坐标
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在(n)维线性空间(V)中，(n)个线性无关的向量(varepsilon_1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_n)称为(V)的一组基。
设(alpha)是(V)中任一向量，于是(varepsilon_1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_n,alpha)线性相关，因此(alpha)可以被(varepsilon_1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_n)线性表出：
[alpha=a_1varepsilon_1+a_2varepsilon_2+cdots+a_nvarepsilon_n ]其中系数(a_1,a_2,cdots,a_n)是被向量(alpha)和基(varepsilon_1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_n)唯一确定的，这组数就称为(alpha)在基(varepsilon_1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_n)下的坐标，记为((a_1,a_2,cdots,a_n))
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定理
如果在线性空间(V)中有(n)个线性无关的向量(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)，且(V)中任一向量组都可以用它们线性表出，那么(V)是(n)维的，而(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r)就是(V)的一组基。
基变换与坐标变换
在同一向量空间下，同一个向量在不同基下的坐标是不同的。
设(varepsilon_1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_n)与(varepsilon_1',varepsilon_2',cdots,varepsilon_n')是(n)维向量空间的两组基，它们的关系是
设$xi $在这两组基下的坐标分别是 (x_1,x_2,cdots,x_n)与$ x_1,x_2,cdots,x_n$
将(3)式带入(4)得
上式给出了在基变换（3）下向量的坐标变换公式。
子空间
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数域(P)上线性空间(V)的一个非空集合(W)称为(V)的一个线性子空间（或简称为子空间），如果(W)对于(V)的两种运算也构成数域(P)上的线性空间。
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定理 子空间条件
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线性空间(V)的非空子集合(W)
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(W)对于(V)中原有两种运算具有封闭性
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如果(W)中包含向量(alpha)，那么(W)就一定同时包含域(P)中的数(k)和(alpha)的数量乘积(kalpha).
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如果(W)中包含向量(alpha，eta)，那么(W)就同时包含(alpha,eta)的和(alpha+eta)
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零子空间 在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，叫做零子空间。
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线性空间(V)本身也是(V)的一个子空间。
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平凡子空间 零子空间和线性空间本身这两个子空间叫做平凡子空间。其他线性子空间叫做非平凡子空间。
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由(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r)生成的子空间
设(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r)是线性空间(V)的一组向量，
不难看出，这组向量所有可能的线性组合(k_1alpha_1+alpha_2+cdots+k_ralpha_r)所构成的集合是非空的，
而且对这两种运算封闭
所以是(V)的一个线性子空间。
这个子空间叫做由(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r)生成的子空间，记为(L(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r))
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定理
- 两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价；
- (L(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r))的维数等于向量组(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r)的秩。
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定理
设(W)是数域(P)上(n)维线性空间(V)的一个(n)维子空间，(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r)是(W)的一组基，那么这组向量必定可以扩充为整个空间的基。
也就是说，在(V)中必定可以找到(n-m)个向量(alpha_{m+1},alpha_{m+2},cdots,alpha_n)使得(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)是(V)的一组基。
子空间的运算——交与和
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定理
如果(V_1,V_2)是线性空间(V)的两个子空间，那么它们的交(V_1cap V_2)也是(V)的子空间。
由集合的交的定义可以看出，子空间的交适合以下运算律：
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交换律 (V_1 cap V_2 =V_2 cap V_1)
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结合律 ((V_1 cap V_2)cap V_3 =V_1cap (V_2 cap V_3))
由结合律我们可以定义多个子空间的交 (V_1 cap V_2 cap cdots cap V_s = cap_{i=1}^sV_i)
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定义 子空间的和
(V_1,V_2)是线性空间(V)的两个子空间,所谓(V_1)与(V_2)的和，是指所有能够表示为(alpha_1+alpha_2)，而(alpha_1 in V_1,alpha_2 in V_2)的向量组成的子集合，记作(V_1+V_2)。(V_1+V_2={alpha|alpha=alpha_1+alpha_2,alpha_1in V_1,alpha_2 in V_2})
由定义可以看出，子空间的和适合以下运算律：
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交换律 (V_1 + V_2 =V_2 + V_1)
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结合律 ((V_1 + V_2)+ V_3 =V_1 + (V_2 + V_3))
由结合律我们可以定义多个子空间的交 (V_1 + V_2 + cdots + V_s = sum_{i=1}^sV_i)。
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定理
如果(V_1,V_2)是线性空间(V)的两个子空间，那么它们的和(V_1 + V_2)也是(V)的子空间。
关于子空间的交与和有以下结论：
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设(V_1,V_2,W)都是子空间，那么由$W subset V_1 (与)W subset V_2 (可以推出)W subset V_2 cap V_1 $；
由$W supset V_1 (与)W supset V_2 (可以推出)W supset V_2 + V_1 $；
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对于子空间(V_1)与(V_2)，以下三个论断是等价的：
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(V_1 subset V_2);
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(V_1 cap V_2 =V_1)；
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(V_1+V_2=V_2)
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- 例子
- 在三维几何空间中，用(V_1)表示一条通过原点的直线，(V_2)表示一张通过原点且与(V_1)垂直的平面，那么(V_1,V_2)的交是({0})，而(V_1,V_2)的和是整个空间。
- 在一个线性空间(V)中，我们有
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定理 维数定理
如果(V_1,V_2)是线性空间(V)的两个子空间，那么
维（$V_1$）+维（$V_2$） =维（$V_1+V_2$）+维（$V_1 cap V_2$）
推论 ：如果(n)维线性空间(V)中两个子空间(V_1,V_2)的维数之和大于(n)，那么(V_1,V_2)必含有非零的公共向量。
子空间的直和
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定义
设(V_1,V_2)是线性空间(V)的子空间，如果和(V_1+V_2)中每一个向量(alpha)的分解式
[alpha=alpha_1+alpha_2 , alpha_1 in V_1 ,alpha_2 in V_2 ]是唯一的，这个和就称为直和，记为(V_1oplus V_2)
例子1中子空间的和就是直和。
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定理
和(V_1+V_2)是直和的充分必要条件是
等式 (alpha_1+alpha_2=0 , alpha_1 in V_1 ,alpha_2 in V_2)只有在(a_1,a_2)全为零向量时才成立。
- 推论： 和(V_1+V_2)为直和的充分必要条件是(V_1 cap V_2={0})
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定理
设(V_1,V_2)是线性空间(V)的子空间，令(W=V_1+V_2)，则(W=V_1oplus V_2)的充分必要条件是
[维(W)=维(V_1)+维(V_2) ] -
互补子空间，补空间
定理
设(U)是线性空间(V)的一个子空间，那么一定存在一个子空间(W)，使(V=Uoplus W)。
(U)叫做(W)的补空间，(U)和(W)互为补子空间。
推广到多个子空间的情形
- 定义
设(V_1,V_2,cdots,V_s)是线性空间(V)的子空间，如果和(V_1+V_2+cdots+V_s)中每一个向量(alpha)的分解式
是唯一的，这个和就称为直和，记为(V_1oplus V_2 oplus cdots oplus V_s)
- 定理 设(V_1,V_2,cdots,V_s)是线性空间(V)的子空间，下面这些条件是等价的
- (W=sum V_i)是直和；
- 零向量的表法唯一；
- (V_i cap sum_{j eq i}{V_j}={0} (i=1,2,cdots,s))；
- 维((W))=(sum)维（(V_i)）
同构
向量在用坐标表示后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算。线性空间(V)的讨论可以归结于(P^n)的讨论。
- 定义
数域(P)上两个线性空间(V)与(V')称为同构的，如果由(V)到(V')有一个双射(sigma)具有以下性质：
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(sigma(alpha+eta)=sigma(alpha)+sigma(eta))；
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(sigma(kalpha)=ksigma(alpha))
其中(alpha,eta)是(V)中任意向量，(k)是(P)中任意数。
这样的映射(sigma)称为同构映射。
基本性质
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(sigma(0)=0,sigma(-alpha)=-sigma(alpha))。
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(sigma(k_1alpha_1+k_2alpha_2+cdots+k_ralpha_r)=k_1sigma(alpha_1)+k_2sigma(alpha_2)+cdots+k_rsigma(alpha_r))。
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(V)中向量组(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_r)线性相关的充分必要条件是它们的像(sigma(alpha_1),sigma(alpha_2),cdots,sigma(alpha_r))线性相关。
同构的线性空间有相同的维数
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如果(V_1)是(V)的一个子空间，那么(V_1)在(sigma)下的像集合 (sigma(V_1)={sigma(alpha)|alpha in V_1})是(sigma(V))的子空间，并且(V_1)与(sigma(V_1))维数相同。
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同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。
同构映射作为线性空间之间的关系，具有自反性，对称性，传递性。
数域(P)上任一个(n)维线性空间都与(P^n)同构。
数域(P)上任意两个(n)维线性空间都同构。
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定理
数域(P)上两个有限线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。
维数是有限线性空间的唯一的本质特征。