高等数学1 函数 极限 连续

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高等数学
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函数 极限 连续

目录

• 函数 极限 连续
• 函数
• 函数概念
• 函数的表示
• 复合函数
• 反函数
• 分段函数
  • 绝对值函数
  • 符号函数
  • 取整函数
  • 狄利克雷函数
  • 黎曼函数
• 基本初等函数
  • 指数运算
  • 对数运算
  • 阶乘
  • 指数函数与对数函数图像
  • 三角函数运算
  • 函数关系
  • 三角函数图像
  • arcsin
  • arccos
  • arctan
• 函数性质
  • 有界性
  • 单调性
  • 奇偶性
  • 周期性
• 极限
• 数列极限与函数极限概念性质，存在准则
• 数列极限
  • 1 数列极限概念
  • 2 收敛数列的性质
  • 3 数列极限存在的条件
• 函数极限
  • 1 函数极限概念
  • 2 函数极限的性质
  • 3 函数极限存在的条件
• 无穷小与无穷大
  • 无穷小
  • 无穷大
• 极限的计算
  • 两个基本极限
  • 求极限常用方法
    • 1 有理运算法则
    • 2 利用基本极限求极限
    • 3 等价无穷小的代换
    • 4夹逼准则
    • 5 单调有界准则
  • 常见题型
    • $1^{infty}$
• 连续
• 连续性概念
  • 函数在某一点的连续性
  • 间断点
  • 区间上的连续函数
• 连续函数的性质
  • 连续函数的局部性质
  • 闭区间上连续函数的基本性质
  • 反函数的连续性
  • 一致连续性
• 初等函数的连续性

---

函数

函数概念

定义1

给定两个实数集(D)和(M)，若有对应法则(f)，使对(D)内的每一个数(x)，都有唯一一个数(yin M)与它对应，则称(f)是定义在数集(D)上的函数。记作

[f:D ightarrow M ]

数集(D)称为函数(f)的定义域。(x)所对应的数(y)称为(f)在点(x)的函数值，常记为(f(x))。全体函数值的集合(f(D)={y|y=f(x),xin D} (subset M)) 称为函数(f)的值域。

(D ightarrow M)表示按着法则(f)建立数集(D)到(M)的函数关系。习惯上，我们称此函数关系中的(x)为自变量，(y)为因变量。

函数的表示

• 公式法

• 列表法

• 图像法

复合函数

复合函数也可以由多个函数相继复合而成

当且仅当(E^*({x|g(x)in D}igcap E) eq emptyset)，函数(f)与(g)才能复合而成。

反函数

函数(f)有反函数，意味着(f)是(D)与(f(D))之间的一个一一映射。

分段函数

绝对值函数

图像

符号函数

[sgn x= egin{cases} &1 &x>0 \ &0 &x=0 \ &-1 &x<0\ end{cases} ]

定义域为(D=(-infin,+infin))，值域(R_f={-1,0,1})

(x=sgnx * |x|)

图像

取整函数

设(x)为任一实数，不超过(x)的最大整数称为(x)的整数部分，记作([x])。

把(x)看做变量，则函数(y=[x]) ，称为取整函数。

定义域为(D=(-infin,+infin))，值域(R_f=Z)

图像

狄利克雷函数

黎曼函数

基本初等函数

• 常量函数 (y=c(c是常数))；

• 幂函数 (y=x^a (a为常数))；

• 指数函数 (y=a^x(a>0,a eq 1))

• 对数函数 (y=log_ax(a>0,a eq1))

• 三角函数

  (y=sinx(正弦函数))，(y=cosx(余弦函数))，

  (y=tanx(正切函数))，(y=cotx(余切函数))

• 反三角函数

  (y=arsinx(反正弦函数))，(y=arcosx(反余弦函数))，

  (y=artanx(反正切函数))，(y=arcotx(反余切函数))

指数运算

对于所有实数(a>0,m,n)，我们有以下恒等式

[egin{aligned} a^0&=1 \ a^1&=a \ a^{-1}&=1/a \ (a^m)^n&=a^{mn}=(a^n)^m \ a^ma^n&=a^{m+n} end{aligned} \ 对于所有n和ageq 1,函数a^n关于n单调递增。\ ]

我们假定(0^0=1)

多项式与指数的增长率比较

[egin{aligned}对所有使得a>1的实常量a和b,有 \&lim_{n ightarrow infty} frac{n^b}{a^n}=0 \因此可得 \&n^b=o(a^n)end{aligned} ]

自然对数(e)

[对于所有实数x,我们有 \ e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+cdots=sum^{infty}_{i=0}frac{x^i}{i!} ]

[对所有实数x，我们有不等式 \ e^xgeq 1+x ,只有x=0时等号成立 \ 当 |x|leq 1时，有近似估计 \ 1+x+x^2 geq e^x geq1+x ]

[对所有x，我们有： \ lim_{n ightarrow infty} (1+frac{x}{n})^n=e^x ]

对数运算

我们将使用以下记号：

$lgn= log_2n ag{以2为底的对数} $

​ $ lnn ag{自然对数} $

​ $ lg^kn=(lgn)k ag{取幂} $

​ $ lglgn=lg(lgn) ag{复合} $

对所有实数(a>0,b>0.c>0和m,n)，有

[egin{aligned} a&=b^{log_ba} \ log_c(ab)&=log_ca+log_cb \ log_ba^n&=nlog_ba \ log_ba&=frac{log_ca}{log_cb} \ log_b(1/a)&=-log_ba \ log_ba&=frac{1}{log_ab}\ a^{log_bc}&=c^{log_ba} end{aligned} \ 其中，在上面的每个等式中，对数的底不为1\ ]

阶乘

记号(n!)（读作(n)的阶乘）定义为对整数(ngeq 0)，有

[n!= { egin{aligned} &1 &若n=0 \ &n*(n-1) &若n>0 end{aligned} \ n!=1*2*3*cdots n ]

指数函数与对数函数图像

三角函数运算

定义

函数关系

三角函数图像

arcsin

arccos

arctan

函数性质

有界性

单调性

奇偶性

周期性

---

极限

数列极限与函数极限概念性质，存在准则

数列极限

1 数列极限概念

2 收敛数列的性质

3 数列极限存在的条件

函数极限

1 函数极限概念

2 函数极限的性质

3 函数极限存在的条件

---

无穷小与无穷大

无穷小

无穷大

---

极限的计算

两个基本极限

求极限常用方法

1 有理运算法则

2 利用基本极限求极限

3 等价无穷小的代换

4夹逼准则

5 单调有界准则

常见题型

(1^{infty})

---

连续

连续性概念

函数在某一点的连续性

间断点

第一类间断点

第二类间断点

区间上的连续函数

若函数(f)在区间(I)上的每一点都连续，则称(f)为(I)上的连续函数。对于闭区间或半开半闭区间的端点值，函数在这些点上连续是指左连续或者右连续。

若函数(f)在区间([a,b])上仅有有限个第一类间断点，则称(f)在([a,b])上分段连续。

连续函数的性质

连续函数的局部性质

闭区间上连续函数的基本性质

反函数的连续性

一致连续性

初等函数的连续性